Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Переведём все суммы в тысячи рублей: кредит 3000, итог выплат 5060.

1. 3 января долг увеличивается на 10%: $3000\cdot1{,}1=3300$. После январского платежа $x$ (26 января) остаток $S=3300-x$.

2. Введём коэффициент ежемесячного роста долга $k=1+\dfrac{10}{100}=1{,}1$.

3. По условию с февраля по ноябрь остаток на 26-е число каждый месяц убывает на одну и ту же величину $a$: после $n$ месяцев ($n=1,\dots,10$) остаток равен $S-na$.

4. В декабре снова начисляются проценты, и этим же платежом $x$ долг закрывается полностью: $$k(S-10a)=x\ \Rightarrow\ a=\dfrac{kS-x}{10k}=\dfrac{S}{10}-\dfrac{x}{11}.$$

5. Платежи с февраля по ноябрь образуют арифметическую прогрессию (шаг $a$ и множитель $k$ постоянны). Их сумма равна $S+5{,}5a$ (получается из формулы суммы прогрессии). Тогда общая сумма всех выплат: $$B=2x+S+5{,}5a.$$

6. Подставим $S=3300-x$ и $a=\dfrac{3300-x}{10}-\dfrac{x}{11}$: $$B=x+3300+5{,}5\left(\dfrac{3300-x}{10}-\dfrac{x}{11}\right)=5115-0{,}05x.$$

7. По условию $B=5060$: $$5115-0{,}05x=5060\ \Rightarrow\ 0{,}05x=55\ \Rightarrow\ x=1100.$$