Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

1-го числа долг увеличивается на 50%: $D_{1}=1{,}5\cdot D_{15\,пред}$. С 2 по 14 число часть долга гасится, а к 15-му числу долг должен стать на $t$ тыс. руб. меньше долга на 15-е число прошлого месяца. Поскольку за весь срок долг обязан упасть с 600 тыс. до 0, сумма всех уменьшений $\sum t_i=600$ независимо от распределения по месяцам.

Общая сумма всех выплат за 6 месяцев равна сумме всех начисленных процентов плюс сама сумма основного долга (600 тыс.), так как проценты и есть "переплата" сверх тела кредита: $$S=600+\sum_{i=1}^{6}0{,}5\cdot D_{15,\,i-1}.$$ Чем меньше остаётся долг к очередному 15-му числу, тем меньше процентов начислится в следующем месяце. Значит, чтобы выплатить максимум, нужно как можно дольше держать долг равным 600 тыс. — то есть $t=0$ все пять раз (гасить только проценты); тогда каждый месяц долг на 1-е число $=1{,}5\cdot600=900$, из них 600 — тело, 300 — проценты, и так пять месяцев подряд, а в июле выплачивается вся сумма 900: $$S_{max}=5\cdot300+900=2400\text{ тыс. руб.}$$

Для минимума нужно уменьшать долг максимально быстро — $t=40$ каждый месяц. Тогда долг на 15-е число последовательно 560, 520, 480, 440, 400, а проценты начисляются на уменьшающиеся суммы. Считая по месяцам (проценты + погашение основного долга), получаем выплаты 340, 320, 300, 280, 260 и в июле — оставшиеся 600: $$S_{min}=340+320+300+280+260+600=2100\text{ тыс. руб.}$$

Таким образом наибольшая сумма выплат — 2400 тыс. руб. (2,4 млн), наименьшая — 2100 тыс. руб. (2,1 млн).