ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Андрей планирует 15-го декабря взять в банке кредит на 3 года в размере 1 655 000 рублей. Сотрудник банка предложил Андрею два различных плана погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

 

План 1  — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

  —  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

  —  кредит должен быть полностью погашен за три года тремя равными платежами.

План 2  — 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

  —  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

  —  15-⁠го числа каждого месяца с 1-⁠го по 36-⁠й долг должен быть меньше долга на 15-⁠е число

предыдущего месяца на одну и ту же сумму;

  —  15-⁠го числа 36-⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

 

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат Андрея банку по более выгодному плану погашения кредита?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Найти суммарные выплаты по каждому плану: для плана 1 — решить уравнение наращения долга с тремя равными годовыми платежами, для плана 2 — просуммировать проценты, начисляемые на убывающую по арифметической прогрессии часть долга, и сравнить итоговые суммы.

План 1. Кредит наращивается раз в год по ставке 10%, а гасится тремя равными платежами XX в конце каждого года. Считаем долг «назад», применяя правило: после начисления процентов из остатка сразу вычитается платёж, а к концу третьего года долг должен стать нулём: (((1655000⋅1,1−X)⋅1,1−X)⋅1,1−X)=0.\big(((1655000\cdot1{,}1-X)\cdot1{,}1-X)\cdot1{,}1-X\big)=0. Это уравнение решаем относительно XX, вынося степени 1,1: X=1655000⋅1,131,12+1,1+1=1655000⋅1,3313,31=665500.X=\frac{1655000\cdot1{,}1^{3}}{1{,}1^{2}+1{,}1+1}=\frac{1655000\cdot1{,}331}{3{,}31}=665500. Так как платежей три, общая сумма выплат по плану 1: 3⋅665500=1 996 500 руб.3\cdot665500=1\,996\,500\text{ руб.}

План 2. Здесь тело кредита гасится равными долями по 165500036\frac{1655000}{36} каждый месяц (36 месяцев), а сверху каждый раз доплачиваются проценты 1% на ещё непогашенную часть долга. Перед kk-м платежом остаток долга равен 37−k36⋅1655000\frac{37-k}{36}\cdot1655000, поэтому платёж: Yk=165500036+0,01⋅37−k36⋅1655000.Y_k=\frac{1655000}{36}+0{,}01\cdot\frac{37-k}{36}\cdot1655000. Сумма всех 36 платежей — это сумма всех долей основного долга (которая просто равна 16550001655000) плюс сумма всех процентов: ∑k=136Yk=1655000+0,01⋅1655000(1+3536+⋯+136).\sum_{k=1}^{36}Y_k=1655000+0{,}01\cdot1655000\left(1+\frac{35}{36}+\dots+\frac{1}{36}\right). В скобках стоит сумма арифметической прогрессии от 136\frac{1}{36} до 11 с 36 членами, равная 1+362=18,5\frac{1+36}{2}=18{,}5. Тогда: ∑Yk=1655000+16550⋅18,5=1655000+306175=1 961 175 руб.\sum Y_k=1655000+16550\cdot18{,}5=1655000+306175=1\,961\,175\text{ руб.}

Сравнение. Разница в общей сумме выплат: 1 996 500−1 961 175=35 325 руб.1\,996\,500-1\,961\,175=35\,325\text{ руб.} Значит, план 2 выгоднее на 35 325 рублей.

Типичные ошибки

  • Неверно составляют уравнение для плана 1, забывая, что проценты начисляются на остаток долга каждый год заново, а не на исходную сумму.
  • При расчёте плана 2 путают, на какую часть долга начисляются проценты — на остаток до или после очередного погашения тела кредита.
  • Ошибочно считают сумму арифметической прогрессии процентов, забывая разделить её на количество периодов (36) или неправильно определяя число слагаемых.
Непонятно?

Похожие задачи