Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим сумму кредита $S$, а коэффициент годового увеличения долга $k=1+\dfrac{r}{100}$ (каждый январь долг умножается на $k$).

Схема на 4 года. Каждый год в январе долг умножается на $k$, а затем в период февраль–апрель выплачивается 41472 руб. После 4-х лет долг должен стать нулём: $$k\big(k\big(k(kS-41472)-41472\big)-41472\big)-41472=0.$$ Раскрыв скобки, получаем $$k^4S-41472(k^3+k^2+k+1)=0\Rightarrow S=\frac{41472(k^3+k^2+k+1)}{k^4}=\frac{41472(k^2+1)(k+1)}{k^4}.$$

Схема на 2 года. Аналогично, но с платежом 70272 руб. и двумя годами: $$k(kS-70272)-70272=0\Rightarrow S=\frac{70272(k+1)}{k^2}.$$

Приравниваем два выражения для $S$ (сумма кредита одна и та же): $$\frac{41472(k^2+1)(k+1)}{k^4}=\frac{70272(k+1)}{k^2}.$$ Сокращаем на $(k+1)$ (оно не равно нулю) и на $k^2$: $$\frac{41472(k^2+1)}{k^2}=70272.$$

Находим $k^2$. Умножаем на $k^2$ и переносим слагаемые: $$41472k^2+41472=70272k^2\Rightarrow k^2(70272-41472)=41472\Rightarrow k^2=\frac{41472}{28800}=1{,}44.$$ Так как $k>0$ (это множитель роста долга), берём корень: $$k=1{,}2.$$

Находим $r$. По определению $k=1+\dfrac{r}{100}$, значит $$1+\frac{r}{100}=1{,}2\Rightarrow \frac{r}{100}=0{,}2\Rightarrow r=20.$$