ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Банки, вклады, кредиты

15‐го декабря 2018 года Саша и Паша взяли в банке одинаковые суммы в кредит на 12 месяцев. Банк предложил им похожие схемы погашения долга.

Условия возврата кредита у Саши оказались следующие:

—  1‐⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2‐⁠го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга;

—  на 15‐⁠е числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга, чем на 15‐⁠е число предыдущего месяца.

У Паши условия возврата кредита были таковы:

—  1‐⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга;

—  на 15‐⁠е число каждого месяца с января по ноябрь включительно долг должен уменьшаться на 50 тыс. руб.;

—  в декабре 2019 года весь оставшийся на тот момент долг должен быть полностью погашен.

Когда в декабре 2019 года Саша и Паша рассчитались со своими кредитами, выяснилось, что один из них выплатил за год банку на 429 тыс. руб. больше, нежели другой. Определите, какая сумма была взята каждым в кредит.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Сумма выплат по каждой схеме сводится к телескопической сумме, зависящей от SS и коэффициента роста k=1,1k=1{,}1; сравнение двух полученных линейных выражений даёт уравнение для SS.

Пусть кредит равен SS тыс. руб., а месячный коэффициент роста долга k=1+10100=1,1k=1+\dfrac{10}{100}=1{,}1.

Схема Саши. Долг на 15‑е число каждый месяц уменьшается на одну и ту же долю первоначальной суммы, т.е. на S12\dfrac{S}{12}. Расписав по месяцам «начисление процентов → платёж → новый долг», получаем сумму всех платежей как телескопическую сумму: BC=kS+1112kS+⋯+112kS−(1112S+⋯+112S)=6,5kS−5,5S.B_C=kS+\frac{11}{12}kS+\dots+\frac1{12}kS-\left(\frac{11}{12}S+\dots+\frac1{12}S\right)=6{,}5kS-5{,}5S. Подставив k=1,1k=1{,}1: BC=6,5⋅1,1S−5,5S=1,65SB_C=6{,}5\cdot1{,}1S-5{,}5S=1{,}65S.

Схема Паши. Долг с 15‑го числа уменьшается на фиксированную сумму 50 тыс. руб. каждый месяц (кроме декабря, когда гасится весь остаток). Суммируя аналогично, получаем BP=kS+k(S−550)2⋅12−11S+50+5502⋅11=12kS−3300k−11S+3300.B_P=\frac{kS+k(S-550)}{2}\cdot12-11S+\frac{50+550}{2}\cdot11=12kS-3300k-11S+3300. При k=1,1k=1{,}1: BP=12⋅1,1S−3300⋅1,1−11S+3300=2,2S−330B_P=12\cdot1{,}1S-3300\cdot1{,}1-11S+3300=2{,}2S-330.

Разница выплат. По условию ∣BP−BC∣=429|B_P-B_C|=429, т.е. ∣2,2S−330−1,65S∣=429  ⇒  ∣0,55S−330∣=429.|2{,}2S-330-1{,}65S|=429 \;\Rightarrow\; |0{,}55S-330|=429. Это даёт два случая: 0,55S−330=4290{,}55S-330=429 или 0,55S−330=−4290{,}55S-330=-429. Второй вариант даёт отрицательное SS, что невозможно, значит 0,55S=759  ⇒  S=1380 тыс. руб.=1,38 млн руб.0{,}55S=759 \;\Rightarrow\; S=1380 \text{ тыс. руб.}=1{,}38\text{ млн руб.}

Типичные ошибки

  • Неправильное построение телескопической суммы — потеря или лишний член ряда при подсчёте общей суммы выплат.
  • Ошибка в знаке при рассмотрении модуля разницы выплат (выбор отрицательного, невозможного значения SS).
  • Путаница единиц измерения — забыли перевести тысячи рублей в миллионы в итоговом ответе.
Непонятно?

Похожие задачи