ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладахЗадачи о кредитах

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку r , если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Долг убывает равномерно на 0,7 млн в год, а последний платёж равен последнему остатку долга, увеличенному на коэффициент роста k=1+r/100k=1+r/100; из неравенства на этот платёж находят минимальное rr.

  1. По условию долг на начало июля каждого года должен уменьшаться на одинаковую сумму. Так как весь долг (7 млн) выплачивается за 10 лет равными «шагами», получаем последовательность остатков долга на июль: 7; 6,3; 5,6; … ; 1,4; 0,7; 07;\ 6,3;\ 5,6;\ \dots;\ 1,4;\ 0,7;\ 0 (каждый раз убывает на 0,70,7 млн).

  2. Каждый январь долг увеличивается на r%r\%. Введём коэффициент роста k=1+r100k=1+\dfrac{r}{100}. Тогда сумма, которая становится должной в январе каждого года, равна остатку предыдущего июля, умноженному на kk: 7k; 6,3k; 5,6k; … ; 1,4k; 0,7k7k;\ 6,3k;\ 5,6k;\ \dots;\ 1,4k;\ 0,7k.

  3. В последний, десятый год к июлю долг должен стать равным нулю. Значит вся сумма, накопившаяся в январе последнего года (0,7k0,7k млн), выплачивается целиком — это и есть последний платёж.

  4. По условию последний платёж не менее 0,8190,819 млн: 0,7k⩾0,819.0,7k\geqslant 0,819.

  5. Решаем неравенство: k⩾0,8190,7=1,17.k\geqslant \frac{0,819}{0,7}=1,17.

  6. Так как k=1+r100k=1+\dfrac{r}{100}, получаем 1+r100⩾1,17  ⇒  r⩾17.1+\frac{r}{100}\geqslant 1,17 \;\Rightarrow\; r\geqslant 17.

  7. Нужна наименьшая возможная ставка, значит берём наименьшее подходящее значение: r=17r=17.

Типичные ошибки

  • Неверно определяют шаг равномерного уменьшения долга (не делят 7 млн на 10 частей).
  • Путают, к какому именно остатку применяется коэффициент роста kk, и берут не последний остаток, а весь долг или предпоследний.
  • Ошибка при переводе неравенства для kk в проценты — забывают вычесть единицу или неверно домножают на 100.
Непонятно?

Похожие задачи