Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $x$ — сумма, которую Валерий Анатольевич выплачивает ежегодно (одинаковая часть долга каждый год, отдаётся с февраля по апрель).

Шаг 1. Как меняется долг по годам. В январе долг увеличивается на проценты (это начисление, как в сложном кредите), а затем в течение года выплачивается фиксированная сумма $x$. Поэтому после каждого «цикла» долг пересчитывается по правилу: (старый долг)×(коэффициент роста) − $x$.

По условию в 2024 и 2025 годах коэффициент роста равен $1{,}2=\dfrac{6}{5}$, а в 2026 и 2027 — $1{,}25=\dfrac{5}{4}$. К маю 2027 года долг должен стать нулевым, поэтому: $$\Big(\Big(\big(709\,800\cdot\tfrac{6}{5}-x\big)\cdot\tfrac{6}{5}-x\Big)\cdot\tfrac{5}{4}-x\Big)\cdot\tfrac{5}{4}-x=0.$$

Шаг 2. Раскрываем скобки. Умножая всё почленно, получаем сумму слагаемых с $709\,800$ (умноженную на все коэффициенты роста) и слагаемых с $x$ (каждое умножено на произведение тех коэффициентов роста, что стоят «после» него по цепочке): $$709\,800\cdot\Big(\tfrac{6}{5}\Big)^2\Big(\tfrac{5}{4}\Big)^2-x\Big[\tfrac{6}{5}\Big(\tfrac{5}{4}\Big)^2+\Big(\tfrac{5}{4}\Big)^2+\tfrac{5}{4}+1\Big]=0.$$

Шаг 3. Считаем коэффициенты. $\Big(\tfrac{6}{5}\Big)^2\Big(\tfrac{5}{4}\Big)^2=\tfrac{36}{25}\cdot\tfrac{25}{16}=\tfrac{9}{4}$.

Приводя выражение в квадратных скобках к общему знаменателю 16: $$\tfrac{6}{5}\cdot\tfrac{25}{16}+\tfrac{25}{16}+\tfrac{20}{16}+\tfrac{16}{16}=\tfrac{30+25+20+16}{16}=\tfrac{91}{16}.$$

Получаем уравнение: $$709\,800\cdot\tfrac{9}{4}-x\cdot\tfrac{91}{16}=0.$$

Шаг 4. Находим $x$. $$x=709\,800\cdot\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{16}{91}=709\,800\cdot\dfrac{9\cdot4}{91}.$$ Так как $709\,800\div91=7\,800$, то $$x=7\,800\cdot9\cdot4=280\,800.$$

Значит, ежегодная выплата составляет $280\,800$ рублей.