Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Тело кредита 2000 тыс. руб. нужно вернуть равными частями за 4 года, то есть каждый июль долг уменьшается на $2000/4=500$ тыс. руб. Составим таблицу долга по годам:

• Начало 2026: долг $2000$, начисляются проценты $2000\cdot\frac{r}{100}$, затем гасится $500$ тыс. долга.
• Начало 2027: долг $1500$, проценты $1500\cdot\frac{r}{100}$, гасится $500$.
• Начало 2028: долг $1000$, проценты (уже $2r\%$) $1000\cdot\frac{2r}{100}$, гасится $500$.
• Начало 2029: долг $500$, проценты $500\cdot\frac{2r}{100}$, гасится последние $500$ — долг закрыт.

Переплата — это сумма всех процентов, которые банк начислил сверх суммы кредита. Складываем их: $$2000\cdot\frac{r}{100}+1500\cdot\frac{r}{100}+1000\cdot\frac{2r}{100}+500\cdot\frac{2r}{100}=650.$$

Выносим $\frac{r}{100}$ за скобку (учитывая, что в третьем и четвёртом слагаемых стоит $2r$, значит вынесем $r/100$, а множители $1000$ и $500$ умножатся на 2): $$\frac{r}{100}\left(2000+1500+2\cdot1000+2\cdot500\right)=650,$$ $$\frac{r}{100}\cdot6500=650.$$

Отсюда $65r=650$, значит $r=10$.

Почему так: проценты каждый год начисляются на остаток долга, который уменьшается на фиксированную сумму 500 тыс., а ставка меняется с $r\%$ на $2r\%$ после первых двух лет — это отражено в коэффициентах при $r$.