Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита в тысячах рублей. По условию тело долга гасится равными долями: каждый месяц сумма долга уменьшается на $\frac{S}{60}$ тыс. руб. Тогда к началу $k$-го месяца (после уплаты процентов, но до начисления новых) остаток долга равен $S-\frac{(k-1)S}{60}$, и на него начисляются проценты 5%. Полный платёж в $k$-м месяце состоит из части тела долга и процентов: $$x_k=\frac{S}{60}+0{,}05\left(S-\frac{(k-1)S}{60}\right).$$ Последние 12 месяцев кредита — это месяцы с 49-го по 60-й. Считаем их сумму: $$\sum_{k=49}^{60}x_k=12\cdot\frac{S}{60}+0{,}05\sum_{k=49}^{60}\left(S-\frac{(k-1)S}{60}\right).$$ Сумма чисел $(k-1)$ от 48 до 59 равна $\frac{(48+59)\cdot12}{2}=642$, поэтому вторая сумма равна $12S-\frac{642S}{60}=1{,}3S$. Тогда общая сумма выплат: $$\frac{S}{5}+0{,}05\cdot1{,}3S=\frac{S}{5}+\frac{13S}{200}=\frac{53S}{200}.$$ По условию это равно 3180 тыс. руб.: $$\frac{53S}{200}=3180\;\Rightarrow\;S=12000\text{ тыс. руб.}=12\text{ млн руб.}$$