ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Наш добрый герой В. взял в банке кредит в размере 20 192 020 рублей по очень знакомой схеме:

  — в конце очередного месяца пользования кредитом банк начисляет проценты за пользование заемными средствами по специальной ставке данного варианта 2,96%;

  — в этот же день клиент выплачивает часть долга и сумму начисленных процентов;

  — после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца.

Но дальше все пошло не по сценарию. Наш герой решил каждый месяц, начиная с первого, платить банку сверх прочего дополнительную сумму на погашение долга, при этом долг по‐прежнему ежемесячно уменьшался на одну и ту же величину (бóльшую, чем планировалось изначально) до полного погашения. В итоге срок кредита сократился на 52%. На какое наименьшее число процентов могла уменьшиться при этом переплата банку?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Переплата при равномерном погашении долга пропорциональна (n+1)(n+1), где nn — срок кредита в месяцах, поэтому отношение переплат сводится к отношению (k+1)/(n+1)(k+1)/(n+1), а условие сокращения срока задаёт целочисленное соотношение k/n=12/25k/n=12/25.

Пусть SS — сумма кредита, a=2,96100a=\frac{2{,}96}{100} — месячная ставка, nn — первоначальный срок в месяцах, kk — фактический срок.

При равномерном погашении долга (схема дифференцированных платежей) остаток долга перед ii-м платежом равен (n−i+1)Sn\frac{(n-i+1)S}{n}, поэтому проценты начисляются именно на эти остатки. Суммируя все проценты за весь срок, получаем переплату: P(n)=aS(1+n−1n+⋯+1n)=aS(n+1)2.P(n)=aS\left(1+\frac{n-1}{n}+\dots+\frac1n\right)=\frac{aS(n+1)}2. Эта формула верна для любого срока, значит при реальном сроке kk переплата равна P(k)=aS(k+1)2P(k)=\dfrac{aS(k+1)}2.

Отношение фактической переплаты к плановой: P(k)P(n)=k+1n+1.\frac{P(k)}{P(n)}=\frac{k+1}{n+1}. Тогда уменьшение переплаты в процентах: (1−k+1n+1)⋅100%.\left(1-\frac{k+1}{n+1}\right)\cdot100\%.

По условию срок сократился на 52%, то есть k=0,48nk=0{,}48n, или kn=1225\dfrac{k}{n}=\dfrac{12}{25} — значит nn кратно 25, а kk — соответствующему кратному 12.

Подставим k=0,48nk=0{,}48n в формулу уменьшения переплаты: f(n)=100−100(0,48n+1)n+1=52−52n+1.f(n)=100-\frac{100(0{,}48n+1)}{n+1}=52-\frac{52}{n+1}. Эта функция возрастает с ростом nn (чем больше nn, тем меньше вычитаемое), значит минимум достигается при наименьшем допустимом nn. Так как nn и kk — натуральные числа, наименьшее n=25n=25 (тогда k=12k=12).

Подставляем: f(25)=52−5226=52−2=50f(25)=52-\dfrac{52}{26}=52-2=50.

Значит, переплата могла уменьшиться минимум на 50%.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что переплата пропорциональна именно (n+1)(n+1), а не самому nn, из-за суммирования арифметической прогрессии остатков долга.
  • Ищут минимум выражения 1−k+1n+11-\frac{k+1}{n+1} без учёта того, что nn и kk должны быть натуральными числами, кратными 25 и 12 соответственно.
  • Путают направление монотонности функции f(n)f(n) и берут наибольшее nn вместо наименьшего, получая неверный экстремум.
Непонятно?

Похожие задачи