Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим сумму кредита $S$, а платёж 2026 года — $x$. По условию платежи растут в 1,2 раза каждый год: в 2027 году — $1{,}2x$, в 2028 году — $1{,}2x\cdot1{,}2=1{,}44x$, а в 2029 году гасится остаток $147675$ руб.

Шаг 1. Находим x из общей суммы выплат. Все платежи в сумме равны 329675 руб.: $$x+1{,}2x+1{,}44x+147675=329675$$ $$3{,}64x=182000 \;\Rightarrow\; x=50000$$

Шаг 2. Прослеживаем движение долга по годам. Каждый январь долг увеличивается на 10% (умножается на 1,1), а затем в феврале–марте вычитается платёж. Составим цепочку:

• начало 2026: $1{,}1S$, после платежа: $1{,}1S-x$
• начало 2027: $1{,}1(1{,}1S-x)$, после платежа $1{,}2x$: $1{,}1(1{,}1S-x)-1{,}2x$
• начало 2028: $1{,}1[1{,}1(1{,}1S-x)-1{,}2x]$, после платежа $1{,}44x$: остаётся долг перед 2029 годом
• начало 2029: $1{,}1\big(1{,}1[1{,}1(1{,}1S-x)-1{,}2x]-1{,}44x\big)$ — это и есть последний платёж 147675 руб.

Шаг 3. Раскрываем скобки. После раскрытия получаем: $$1{,}1^4S-1{,}1^3x-1{,}1^2\cdot1{,}2x-1{,}1\cdot1{,}44x=147675$$ Вычисляем коэффициенты: $1{,}1^4=1{,}4641$, сумма коэффициентов при $x$: $1{,}331+1{,}452+1{,}584=4{,}367$.

Получаем уравнение: $$1{,}4641S-4{,}367x=147675$$

Шаг 4. Находим S. $$S=\dfrac{147675+4{,}367x}{1{,}4641}$$ Подставляем $x=50000$: $$S=\dfrac{147675+4{,}367\cdot50000}{1{,}4641}=\dfrac{147675+218350}{1{,}4641}=\dfrac{366025}{1{,}4641}=250000$$

Почему так делаем: каждый годовой шаг «долг вырос на 10%, потом уменьшился на платёж» отражает механизм начисления процентов на остаток и последующее частичное погашение. Требование, что к 2029 году долг полностью закрыт последним платежом, даёт нужное уравнение относительно $S$.