Задание 19 ЕГЭ: числа и их свойства — гайд с разбором примеров

О чём эта подтема

Задание 19 — самое нестандартное задание профильного ЕГЭ. Здесь нет готовой формулы, которую можно подставить и получить ответ. Каждая задача строится по схожей логике: даётся некоторая числовая конструкция (набор чисел, разбиение на группы, отношение числа к сумме цифр и т.п.), а в пунктах а), б), в) спрашивается, может ли выполняться то или иное условие, и какое экстремальное значение (максимум или минимум) достижимо.

Подтема «Числа и их свойства» проверяет умение работать с целыми числами: делимость, остатки, оценки сумм, свойства среднего арифметического, ограничения на цифры чисел. Здесь нет длинных вычислений — важнее аккуратные рассуждения и умение доказать невозможность ситуации или построить конкретный пример, который её реализует.

Задание состоит из трёх пунктов возрастающей сложности:

• а) обычно требует проверить конкретный числовой пример — да или нет, с коротким обоснованием;
• б) аналогичный вопрос, но часто построенный так, чтобы натолкнуть на общее свойство (чётность, кратность, вид числа);
• в) требует найти наибольшее или наименьшее значение какой-то величины при заданных ограничениях — здесь нужна и оценка сверху (снизу), и пример, реализующий эту оценку.

Что нужно знать

Для этой подтемы достаточно владеть базовым набором фактов о целых числах:

1. Делимость и остатки. Число делится на $d$, если остаток от деления на $d$ равен нулю. Полезно помнить признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, 100: число кратно 100, если оно оканчивается на два нуля; сумма цифр числа, кратного 9, тоже кратна 9.

2. Среднее арифметическое. Если сумма $n$ чисел равна $S$, то их среднее арифметическое $x = \dfrac{S}{n}$, откуда $S = xn$. Это соотношение — ключевой инструмент в задачах про группы объектов (гирьки, ученики, числа), где среднее меняется при добавлении или удалении элемента.

3. Оценка суммы через минимальные/максимальные значения. Если нужно оценить, насколько малой или большой может быть сумма $n$ различных натуральных чисел из некоторого диапазона, полезна формула суммы арифметической прогрессии: $$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$ Эта оценка снизу применяется, когда числа в группе различны и минимальны по возможности (например, гирьки $1, 2, \ldots, n$ граммов).

4. Строение натурального числа по цифрам. Трёхзначное число $\overline{abc}$ записывается как $100a + 10b + c$, где $a \in \{1, \ldots, 9\}$, $b, c \in \{0, \ldots, 9\}$. Сумма цифр числа равна $a+b+c$, и она принимает значения от 1 до 27. Понимание этой записи нужно, чтобы работать с отношением числа к сумме его цифр.

5. Целочисленность. Часто ключевой аргумент «нет» строится на том, что искомая величина (например, масса гирьки, номер элемента) обязана быть целым числом, а из уравнения получается нецелое значение — противоречие.

6. Метод доказательства невозможности и метод построения примера. В пунктах а) и б) чаще всего нужно либо явно построить числовой пример (для ответа «да»), либо вывести уравнение и показать, что оно не имеет решений в допустимой области (для ответа «нет»). В пункте в) требуется двухшаговое рассуждение: сначала доказать оценку (например, $n \leq 45$), а затем построить конкретный пример, при котором оценка достигается.

Как решать: метод и алгоритм

Общий алгоритм решения задания 19 по числам и их свойствам можно свести к следующим шагам.

Шаг 1. Формализация условия. Введите буквенные обозначения для неизвестных величин: количество элементов, их сумму, среднее значение, конкретные цифры числа. Запишите условие задачи в виде уравнения или неравенства.

Шаг 2. Работа с пунктом а). Обычно здесь дан конкретный набор данных. Подставьте их в формализованное условие и проверьте, выполняется ли равенство или ограничение. Если получаете противоречие (например, повторяющееся значение там, где элементы должны быть различны, или число не из допустимого диапазона) — ответ «нет». Если находите подходящее значение — ответ «да», и его нужно предъявить явно.

Шаг 3. Работа с пунктом б). Часто это тот же тип вопроса, но составленный так, чтобы вскрыть общее свойство задачи (чётность, кратность определённому числу, ограничение целочисленности). Выведите общее уравнение, выразите неизвестную величину через параметры и проверьте, может ли она принимать нужное значение при целочисленных ограничениях.

Шаг 4. Работа с пунктом в). Это самая содержательная часть:

1. Составьте выражение для искомой величины (максимальное количество элементов, наибольшее значение частного и т.д.) через параметры задачи.
2. Найдите теоретическую оценку (сверху для максимума, снизу для минимума), используя известные неравенства — сумму арифметической прогрессии, ограничения на цифры, диапазон допустимых значений.
3. Решите полученное неравенство относительно искомой переменной, получите целочисленную границу.
4. Постройте конкретный пример, при котором оценка обращается в равенство — это подтверждает, что найденная граница действительно достижима.

Без этапа 4 решение неполное: доказанная оценка сама по себе не гарантирует, что значение реализуемо, — нужен реальный пример.

Разбор примера

Пример 1. В наборе 70 гирек массой $1, 2, \ldots, 70$ граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой есть хотя бы одна гирька. Затем из второй кучки переложили одну гирьку в первую. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на 1 грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек 11 г, 15 г, 19 г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 9,5 грамма?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Решение пункта а). Средняя масса трёх данных гирек: $$\frac{11+15+19}{3} = \frac{45}{3} = 15 \text{ г}.$$ После перекладывания средняя масса должна стать $15+1=16$ г, а гирек в кучке станет 4. Суммарная масса: $$16 \cdot 4 = 64 \text{ г}.$$ Масса добавленной гирьки: $$64 - 45 = 19 \text{ г}.$$ Но гирька массой 19 г уже находится в первой кучке, а повторяющихся гирек в наборе нет. Противоречие, значит такая ситуация невозможна. Ответ: нет.

Решение пункта б). Пусть в первой кучке было $n$ гирек со средней массой $9{,}5$ г, тогда суммарная масса $9{,}5n$ г. После перекладывания гирек стало $n+1$, средняя масса $10{,}5$ г, суммарная масса $10{,}5(n+1)$ г. Масса добавленной гирьки: $$10{,}5(n+1) - 9{,}5n = n + 10{,}5.$$ Это выражение никогда не является целым числом, поскольку заканчивается на $,5$, а масса реальной гирьки — целое число граммов. Противоречие. Ответ: нет.

Решение пункта в). Пусть в первой кучке было $n$ гирек со средней массой $x$, суммарная масса $xn$. После перекладывания: $n+1$ гирек, средняя масса $x+1$, суммарная масса $(x+1)(n+1)$. Масса добавленной гирьки: $$(x+1)(n+1) - xn = x + n + 1.$$

Чтобы найти максимум $n$, нужна оценка снизу для $x$: если в кучке $n$ различных гирек, минимально возможная их суммарная масса достигается при выборе самых лёгких гирек $1, 2, \ldots, n$: $$xn \geq \frac{n(n+1)}{2} \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{n+1}{2}.$$

Масса добавляемой гирьки не превышает 70 г (максимальная гирька в наборе), поэтому: $$x + n + 1 \leq 70.$$

Подставляя нижнюю оценку для $x$: $$\frac{n+1}{2} + n + 1 \leq 70 \quad \Rightarrow \quad \frac{3n+3}{2} \leq 70 \quad \Rightarrow \quad 3n \leq 137 \quad \Rightarrow \quad n \leq 45\frac{2}{3}.$$

Поскольку $n$ целое, $n \leq 45$. Проверим достижимость: возьмём гирьки $1, 2, \ldots, 45$. Их сумма $\frac{45 \cdot 46}{2} = 1035$ г, средняя масса $x = 1035/45 = 23$ г. Добавляемая гирька должна весить $x+n+1 = 23+45+1=69$ г — она есть в наборе и не входит в первую кучку. После добавления: сумма $1035+69=1104$, количество 46, среднее $1104/46=24$ г — действительно на 1 г больше, чем 23 г. Все условия выполнены. Ответ: 45.

Этот пример показывает всю логику задания: точная проверка в пункте а), поиск скрытого противоречия (нецелочисленность) в пункте б), и двухшаговое доказательство с оценкой и построением примера в пункте в).

Пример 2 (для самостоятельной проработки по той же схеме). Дано трёхзначное число, не кратное 100. а) Может ли частное числа и суммы его цифр равняться 90? б) Может ли оно равняться 88? в) Каково наибольшее возможное значение этого частного?

Здесь идея та же: обозначить число как $100a+10b+c$, сумму цифр как $s=a+b+c$, и рассмотреть уравнение $100a+10b+c = k \cdot s$ для конкретного $k$. Для а) при $k=90$ можно подобрать число (например, 810: сумма цифр 9, частное $810/9=90$ — да). Для б) при $k=88$ показывается, что подходящего трёхзначного числа не существует — перебором или через оценки на $a,b,c$ получаем противоречие. Для в) максимальное частное достигается при числе 900: сумма цифр $9$, но число кратно 100, поэтому запрещено; следующий кандидат — число вида $\overline{a00}$ с минимальной ненулевой добавкой, что и приводит к ответу 91 (например, число 910, сумма цифр 10, частное $910/10=91$, но нужно убедиться, что большего частного получить нельзя). Ответ: а) да; б) нет; в) 91.

Типичные ошибки

Забыть про ограничения на диапазон значений. В задачах про гирьки часто забывают, что гирьки различны и лежат в диапазоне от 1 до какого-то максимума — без этого ограничения оценки не работают.

Перепутать, что меняется — количество элементов кучки до или после перекладывания. Важно точно отследить, к какому моменту относится $n$, а к какому $n+1$.

Использовать неверную формулу минимальной суммы. Часто вместо оценки $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ошибочно берут $n$ одинаковых минимальных чисел, что неверно, если элементы обязаны быть различными.

Забыть про проверку целочисленности. Ответ «нет» в пунктах а) и б) часто строится именно на том, что искомая величина обязана быть целым числом, но при подстановке получается дробь. Пропуск этой проверки — частая причина неверного вывода «да» там, где ответ «нет».

Не построить пример в пункте в). Найти оценку — это только половина решения. Без предъявления конкретного числового примера, реализующего границу, решение считается неполным даже при верной оценке.

Ошибки в арифметике при работе с дробями и большими числами. Задание требует аккуратных вычислений с дробями (например, $45\frac{2}{3}$), и округление в неверную сторону (вверх вместо вниз) сразу портит ответ.

Пропуск случая нуля в первой цифре трёхзначного числа. Условие «число не может начинаться с нуля» критично для оценки диапазона значений первой цифры $a \in \{1,\ldots,9\}$.

На что обратить внимание на экзамене

Задание 19 оценивается по частям: за верный ответ на пункты а) и б) без полного обоснования баллы часто не начисляются — эксперты требуют явного решения с выкладками, а не просто «да» или «нет». Оформляйте рассуждение так, чтобы был виден логический путь: введённые обозначения, уравнение, вывод.

В пункте в) обязательно нужны обе части: доказательство того, что большее значение недостижимо (оценка), и пример, при котором граница реализуется. Если у вас есть только оценка без примера или только пример без доказательства, что он оптимален, — балл снижается.

Перед тем как приступать к вычислениям, чётко выпишите все ограничения задачи: диапазон чисел, требование различности элементов, целочисленность, отсутствие кратности определённому числу. Именно эти ограничения чаще всего дают ключ к решению пунктов а) и б).

При проверке готового ответа в пункте в) всегда подставьте построенный пример обратно в условие задачи целиком — проверьте, что все условия выполняются одновременно (не только числовое равенство, но и структурные требования вроде «в каждой кучке хотя бы одна гирька» или «число не кратно 100»).

Если не удаётся сразу увидеть общую формулу, попробуйте начать с малых конкретных случаев — это часто подсказывает вид общей закономерности и верное направление оценки.