Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём $a_n=1+5(n-1)$ и $b_n=n$. Тогда $\frac{a_1}{b_1}=1$, $\frac{a_2}{b_2}=\frac{6}{2}=3$, $\frac{a_4}{b_4}=\frac{16}{4}=4$ — три различных натуральных числа. Значит, такие прогрессии существуют.

б) Предположим, что $\frac{a_1}{b_1}$, $\frac{b_2}{a_2}$, $\frac{a_4}{b_4}$ — различные натуральные числа. Так как оба они натуральные и различны, одно из них $\ge1$, другое $>1$ (или наоборот), т.е. либо $a_1\ge b_1,\;a_2<b_2$, либо $a_1>b_1,\;a_2\le b_2$. В любом случае $a_2-a_1<b_2-b_1$. По формуле арифметической прогрессии $a_4=a_2+2(a_2-a_1)$, $b_4=b_2+2(b_2-b_1)$, значит $a_4<b_4$, то есть $\frac{a_4}{b_4}<1$ — не натуральное число. Противоречие, значит таких прогрессий не существует.

в) Пусть $c,d$ — разности прогрессий $a_n$, $b_n$ (натуральные числа). Рассмотрим разности $$\frac{a_2}{b_2}-\frac{a_1}{b_1}=\frac{cb_1-da_1}{b_1(b_1+d)},\qquad \frac{a_{10}}{b_{10}}-\frac{a_2}{b_2}=\frac{8(cb_1-da_1)}{(b_1+d)(b_1+9d)}.$$ Знаменатели обеих дробей положительны, а числители пропорциональны одному и тому же выражению $cb_1-da_1$, поэтому обе разности имеют одинаковый знак. Значит последовательность $\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\frac{a_{10}}{b_{10}}$ монотонна (возрастает или убывает), и так как все три значения — различные натуральные числа, наименьшее из них не меньше 1, а среднее по величине число (это $\frac{a_2}{b_2}$) не меньше 2. Пример: $a_n=9+23(n-1)$, $b_n=9+7(n-1)$ дают $\frac{a_1}{b_1}=1,\ \frac{a_2}{b_2}=2,\ \frac{a_{10}}{b_{10}}=3$, что подтверждает достижимость минимума 2.