Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть стороны треугольника $a<b<c$ — натуральные числа. По теореме косинусов угол против стороны $c$ тупой тогда и только тогда, когда $c^2>a^2+b^2$ (при этом должно выполняться и неравенство треугольника $a+b>c$).

а) Возьмём $a=10,\ b=11,\ c=15$. Проверим: $10^2+11^2=221<225=15^2$ — угол против стороны 15 тупой, а $10+11=21>15$ — треугольник существует. Отношение $\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}$ достигается.

б) Пусть отношение $\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{4}$, тогда $a=4x,\ c=5x$ для некоторого $x>0$. Условие тупоугольности: $c^2>a^2+b^2$, то есть $25x^2>16x^2+b^2$, откуда $b^2<9x^2$, значит $b<3x$. Но по условию $a<b$, то есть $b>4x$. Получаем одновременно $b<3x$ и $b>4x$ — противоречие, так как $3x<4x$. Значит, такое отношение невозможно.

в) Пусть $b=18$. Тогда $c^2>324+a^2$, откуда $\left(\dfrac{c}{a}\right)^2>\dfrac{324}{a^2}+1$. Чем больше $a$, тем меньше правая часть, значит, чтобы минимизировать $\dfrac{c}{a}$, нужно взять наибольшее возможное $a<18$, то есть $a=17$. Тогда $c^2>17^2+18^2=289+324=613$, а так как $c$ — натуральное число, наименьшее подходящее $c=25$ (поскольку $24^2=576<613$, $25^2=625>613$). Проверка неравенства треугольника: $17+18=35>25$ — верно. Значит минимальное отношение равно $\dfrac{25}{17}$.