Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Треугольник со сторонами $a\le b\le c$ тупоугольный тогда и только тогда, когда $c^2>a^2+b^2$ (косинус угла против большей стороны отрицателен).

а) Возьмём стороны 7, 8, 13. Проверяем неравенство треугольника: $13<7+8$ — выполняется. Проверяем тупоугольность: $13^2=169>7^2+8^2=49+64=113$. Значит такой треугольник существует, и отношение $\dfrac{13}{7}$ достижимо. Ответ: да.

б) Пусть большая сторона $8x$, меньшая $7x$. Средняя сторона $b$ лежит между ними, значит $b\ge 7x$. Тогда $b^2+ (7x)^2\ge (7x)^2+(7x)^2=98x^2>64x^2=(8x)^2$. Получаем $b^2+(7x)^2>(8x)^2$, то есть условие тупоугольности не выполняется ни при каком $b$. Значит отношение $8/7$ невозможно. Ответ: нет.

в) Пусть меньшая сторона $a$, большая $c$, средняя $=25$. Нужно: $c<25+a$ (неравенство треугольника) и $c^2>625+a^2$ (тупоугольность), минимизировать $c/a$.

Если увеличить $a$ и $c$ на 1, оба неравенства сохраняются (слева и справа добавляются близкие приросты), а отношение $\dfrac{c}{a}=1+\dfrac{c-a}{a}$ уменьшается, так как знаменатель растёт. Значит выгодно увеличивать $a$ до максимума — до $a=24$ (иначе $a\ge25$ нарушит порядок сторон).

При $a=24$ ищем наименьшее целое $c$ с $c^2>625+576=1201$: $34^2=1156<1201$, $35^2=1225>1201$. Значит $c=35$.

Проверка: $35<25+24=49$ — верно. Итог: $\dfrac{c}{a}=\dfrac{35}{24}$.