Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Расставим числа набора по возрастанию: $x_1<x_2<\dots<x_{30}$. Условие «любая тройка меньше любой четвёрки» равносильно самому жёсткому случаю — сумме трёх наибольших чисел и сумме четырёх наименьших: нужно, чтобы $x_1+x_2+x_3+x_4>x_{28}+x_{29}+x_{30}$.

а) Возьмём подряд идущие числа $999,1000,\dots ,1028$. Тогда $999+1000+1001+1002=4002$, а $1026+1027+1028=3081$. Неравенство выполнено, значит 999 может быть в наборе.

б) Если 66 входит в набор, то $x_1\le 66$ (66 не меньше наименьшего элемента). Из различия чисел получаем $x_{28}-x_2\ge 26$, $x_{29}-x_3\ge 26$, $x_{30}-x_4\ge 26$ (между позициями 26 «шагов»). Тогда $$x_1+x_2+x_3+x_4\le 66+x_2+x_3+x_4\le 66+(x_{28}-26)+(x_{29}-26)+(x_{30}-26)=x_{28}+x_{29}+x_{30}-12<x_{28}+x_{29}+x_{30}.$$ Это противоречит требуемому строгому неравенству, значит 66 присутствовать не может.

в) Чтобы минимизировать сумму, выгодно сделать числа максимально «плотными» — идущими подряд, так как раздвигание чисел только увеличивает общую сумму, не ослабляя условие. Пусть числа $x, x+1,\dots,x+29$. Тогда $$x_1+x_2+x_3+x_4=4x+6,\qquad x_{28}+x_{29}+x_{30}=3x+84.$$ Неравенство $4x+6>3x+84$ даёт $x>78$, то есть $x\ge79$. Сумма всех чисел равна $$S=\sum_{k=0}^{29}(x+k)=30x+435.$$ При $x=79$: $S=30\cdot79+435=2370+435=2805$. Это и есть минимально возможная сумма, достигаемая набором чисел от 79 до 108.