Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общая идея. Если два числа делятся на 2, то их общий делитель не меньше 2, что запрещено условием. Значит среди пяти чисел может быть не более одного чётного, остальные — нечётные.

а) Сумма 26. Ищем пример среди простых чисел и единицы, которые всегда взаимно просты. Возьмём $1,2,5,7,11$. Их сумма $1+2+5+7+11=26$, а попарные НОД равны 1. Значит, сумма 26 возможна.

б) Сумма 23. Рассмотрим два случая.

1. Одно число чётное, остальные четыре — нечётные. Сумма четырёх нечётных чисел чётна (нечётное+нечётное=чётное, повторяем дважды), значит вся сумма = чётное + чётное = чётное число. Но $23$ — нечётное, противоречие.

2. Чётных чисел нет вовсе — все пять числа нечётные. Наименьшие пять различных натуральных нечётных чисел — $1,3,5,7,9$, их сумма $1+3+5+7+9=25$. Любая другая набор нечётных чисел даёт сумму не меньше 25, а $25>23$ — противоречие.

В обоих случаях получить сумму 23 нельзя.

в) Минимальная сумма. Снова разбираем два случая.

1. Без чётных чисел минимальная сумма, как показано выше, равна 25.

2. С одним чётным числом: наименьшее чётное число, взаимно простое с любыми нечётными, — это $2$. Остальные четыре нечётных числа берём наименьшими: $1,3,5,7$. Все они попарно взаимно просты (единица взаимно проста со всем, а $3,5,7$ — различные простые), и каждое взаимно просто с $2$. Сумма: $2+1+3+5+7=18$.

Сравнивая $18<25$, получаем, что наименьшее возможное значение суммы — $18$, достигаемое набором $\{1,2,3,5,7\}$.