Задание 19 ЕГЭ: числа, наборы, прогрессии и сюжетные задачи — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 19 — самое сложное текстовое задание профильного ЕГЭ, оно проверяет не набор формул, а умение мыслить логически и работать с целыми числами. Здесь нужно:

• переводить сюжет (гирьки, карточки, турниры, мотки верёвки) на язык уравнений и неравенств;
• учитывать ограничения: целочисленность, диапазон значений, «число не начинается с нуля», «в кучке хотя бы одна гирька» и т.п.;
• строить оценки (доказывать, что больше/меньше определённого значения быть не может) и подтверждать их конкретным примером;
• отвечать на вопросы трёх типов: «да/нет» (пункты а, б) и «найти оптимальное значение» (пункт в).

Задание не сводится к одной формуле — это мини-исследование, где нужно одновременно доказывать невозможность одних ситуаций и строить примеры для других.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание состоит из сюжетного описания (числа на карточках, гирьки на весах, участники турнира, куски верёвки в мотках) и трёх пунктов:

• а) — простой вопрос «да/нет», часто проверяется на конкретном наборе чисел;
• б) — более общий вопрос «да/нет», требует доказательства через уравнение или свойство чисел (чётность, делимость, целочисленность);
• в) — найти наибольшее/наименьшее возможное значение, требуется и оценка сверху (снизу), и пример, который её достигает.

Задание оценивается в 4 первичных балла: обычно 1 балл за пункт а, 1 балл за пункт б и 2 балла за пункт в (полное решение с обоснованием оценки и приведённым примером). Частичное решение (например, верный ответ без обоснования) оценивается ниже — критерии конкретного варианта нужно смотреть в демоверсии ФИПИ.

Что нужно знать

• Среднее арифметическое набора чисел: $$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
• Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$$
• Сумма первых $n$ натуральных чисел: $$1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$
• Признак делимости и свойства остатков: если $a = bq + r$, где $0 \le r < b$, то $a$ делится на $b$ тогда и только тогда, когда $r=0$.
• Число $N$ является целым, если все операции с ним (деление, умножение) дают целый результат — это часто ключевое ограничение в задачах на частное числа и суммы цифр.
• Трёхзначное число: $N = 100a+10b+c$, где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$; сумма цифр $S(N)=a+b+c$.
• В спортивных турнирах по круговой системе с $n$ участниками, где каждый играет с каждым дважды, общее число партий равно $n(n-1)$, и в каждой партии распределяется ровно 1 очко (победа 1:0 или ничья 0,5:0,5), поэтому сумма очков всех участников равна $$S = n(n-1)$$
• Оценка «сверху/снизу + пример»: чтобы найти максимум или минимум, нужно доказать неравенство (оценку) и построить конкретный набор чисел, на котором оно превращается в равенство.

Методы решения

1. Метод уравнения через среднее значение (числа и гирьки на весах). Записываем сумму как произведение количества элементов на среднее значение, приравниваем к условию задачи. Мини-пример: если в кучке 3 гирьки со средним весом 15 г, их суммарный вес $3\cdot 15 = 45$ г.

2. Метод оценки крайних случаев (последовательности и прогрессии). Чтобы оценить максимум или минимум суммы, берём самые маленькие или самые большие возможные значения элементов. Мини-пример: минимальная сумма $n$ различных натуральных чисел от 1 — это $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

3. Метод перебора остатков и делимости (числа и их свойства). Если частное должно быть целым, представляем число через частное и делитель, и проверяем, при каких значениях условие выполняется. Мини-пример: если $N = k\cdot S(N)$ и $N$ — трёхзначное, то $100 \le kS(N) \le 999$, откуда можно ограничить возможные значения суммы цифр $S(N)$.

4. Метод инварианта (сохраняющейся величины) (сюжетные задачи: турниры, мотки верёвки). Ищем величину, которая не меняется при любых допустимых действиях (например, суммарное число очков в турнире фиксировано и не зависит от исходов отдельных партий). Мини-пример: в турнире с 5 участниками, где каждый играет с каждым дважды, всего партий $5\cdot 4=20$, поэтому сумма очков всегда равна 20, независимо от результатов.

5. Конструктивное построение примера (для доказательства достижимости в пункте в). После того как найдена теоретическая оценка, подбираем конкретные числа, реализующие эту оценку, и проверяем все условия задачи. Мини-пример: если оценка показывает, что максимум количества гирек равен 45, нужно явно указать набор из 45 гирек и убедиться, что все условия задачи выполняются.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие, выделить все числовые величины и связи между ними (количество элементов, суммы, средние значения, ограничения на диапазон).
2. Ввести переменные для неизвестных величин (количество гирек, значение цифр, число побед и т.д.).
3. Записать уравнения или неравенства, отражающие условие задачи, используя формулы среднего, суммы или количества партий.
4. Учесть все скрытые ограничения: целочисленность, положительность, диапазон цифр (0–9), «не может начинаться с нуля», «хотя бы один элемент» и т.п.
5. Для пунктов а) и б) — подставить конкретные числа или проверить уравнение на существование целочисленного решения; сделать вывод «да» или «нет» с коротким обоснованием.
6. Для пункта в) — сначала доказать оценку (максимум не может быть больше/минимум не может быть меньше определённого значения), затем построить конкретный пример, на котором оценка достигается.
7. Проверить построенный пример на соответствие всем условиям задачи (диапазон чисел, различие гирек, отсутствие противоречий).
8. Сформулировать окончательный ответ для каждого пункта.

Разбор примеров

Пример 1. Гирьки массой 1–70 граммов

Условие: 70 гирек массой $1,2,\dots,70$ г разложены на две кучки (в каждой хотя бы одна гирька). Одну гирьку переложили из второй кучки в первую, средняя масса в первой кучке выросла ровно на 1 г.

а) Могла ли первая кучка состоять из гирек 11, 15, 19 г? Средняя масса до перекладывания: $$\frac{11+15+19}{3} = 15 \text{ г}$$ После перекладывания средняя масса стала $16$ г, а гирек — 4, значит суммарная масса: $16\cdot 4 = 64$ г. Масса добавленной гирьки: $64 - 45 = 19$ г. Но гирька в 19 г уже в первой кучке, а все гирьки разные — противоречие. Ответ: нет.

б) Мог ли средний вес быть 9,5 г? Пусть в первой кучке было $n$ гирек, суммарная масса $9{,}5n$. После добавления гирьки: $n+1$ штук, среднее $10{,}5$, сумма $10{,}5(n+1)$. Масса добавленной гирьки: $$10{,}5(n+1) - 9{,}5n = n + 10{,}5$$ Это число не может быть целым, а все гирьки — целые. Противоречие. Ответ: нет.

в) Максимальное количество гирек в первой кучке Пусть в кучке было $n$ гирек со средним $x$, сумма $xn$. После перекладывания: сумма $(x+1)(n+1)$. Масса добавленной гирьки: $$(x+1)(n+1) - xn = x+n+1$$ Минимальная сумма $n$ различных гирек — $\frac{n(n+1)}{2}$, значит $x \ge \frac{n+1}{2}$. Так как добавленная гирька весит не больше 70 г: $$x+n+1 \le 70$$ Подставляем оценку: $$\frac{n+1}{2}+n+1 \le 70 \Rightarrow 3n+3\le140 \Rightarrow n\le45{,}67$$ Значит $n\le45$. Проверка: гирьки $1,\dots,45$ г, сумма $=\frac{45\cdot46}{2}=1035$, среднее $x=23$. Добавленная гирька: $23+45+1=69$ г — входит в набор. Новое среднее: $\frac{1035+69}{46}=24$ г — рост ровно на 1 г. Всё сходится. Ответ: 45.

Пример 2. Трёхзначное число и сумма его цифр

Пусть $N$ — трёхзначное число, $S(N)$ — сумма его цифр, частное $q = N/S(N)$.

а) Может ли $q=90$? Если $q=90$, то $N=90S(N)$. Перебираем $S(N)=s$ от 2 до 11 (иначе $N$ выходит за пределы трёхзначных чисел). При $s=9$: $N=90\cdot9=810$, сумма цифр $8+1+0=9$ — совпадает! Ответ: да (пример $N=810$).

б) Может ли $q=88$? Аналогично $N=88s$, перебираем $s=2,\dots,11$: получаем $176,264,352,440,528,616,704,792,880,968$ — суммы цифр этих чисел равны $14,12,10,8,15,13,11,18,16,23$ соответственно, ни одна не совпадает с исходным $s$. Ответ: нет.

в) Наибольшее значение частного Чтобы $q=N/S(N)$ был максимален, нужно при фиксированной сумме цифр $s$ выбрать наибольшее возможное $N$, а саму сумму $s$ сделать как можно меньше. Наименьшая сумма цифр для трёхзначного числа с ведущей цифрой 9, не кратного 100 (то есть с хотя бы одной ненулевой цифрой из $b,c$), равна $9+1=10$. Максимальное $N$ при такой сумме — $N=910$ (цифры 9,1,0). Тогда: $$q = \frac{910}{10}=91$$ При других $s$ или ведущих цифрах частное не превышает 91. Ответ: 91.

Пример 3. Шахматный турнир мальчиков и девочек

Каждый участник играет с каждым дважды, победа — 1 очко, ничья — 0,5, поражение — 0. При $n$ участниках всего партий $n(n-1)$, и сумма всех очков равна $n(n-1)$, так как в каждой партии распределяется ровно 1 очко.

а) $m=3$, $d=2$: максимум очков девочек Всего участников $n=5$, всего очков $5\cdot4=20$. Партии «девочка–девочка»: пара одна, дважды — 2 партии, эти очки $(=2)$ всегда остаются у девочек. Партии «девочка–мальчик»: пар $3\cdot2=6$, дважды — 12 партий, из них девочки могут выиграть все 12. Максимум очков девочек: $$2+12=14$$ Ответ: 14.

б) $m+d=10$: сумма очков всех участников $$S = n(n-1) = 10\cdot9 = 90$$ Ответ: 90.

в) $m=7d$, очки мальчиков в 3 раза больше очков девочек Всего участников $n=m+d=8d$, сумма очков $S=8d(8d-1)$. Пусть очки девочек $=x$, тогда очки мальчиков $=3x$, и $4x=S$, откуда $$x = \frac{8d(8d-1)}{4} = 2d(8d-1)$$ Очки девочек ограничены: минимум — очки только от партий «девочка–девочка» — $d(d-1)$; максимум — эти же очки плюс все возможные очки от партий с мальчиками — $d(d-1)+14d^2$ (так как таких партий $2\cdot 7d\cdot d=14d^2$). Неравенство сверху: $$2d(8d-1) \le d(d-1)+14d^2$$ $$16d^2-2d \le 15d^2-d$$ $$d^2-d\le0 \Rightarrow d(d-1)\le0 \Rightarrow d\le1$$ Поскольку девочки участвуют, $d\ge1$, значит $d=1$. Проверка: при $d=1$, $m=7$, всего очков $8\cdot7=56$, очки девочки должны быть $2\cdot1\cdot7=14$ — единственная девочка выигрывает все 14 партий против 7 мальчиков (по 2 партии с каждым), что реализуемо. Ответ: $d=1$.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают учитывать целочисленность величин (массы гирек, количество очков, цифры числа) и получают «красивый», но невозможный ответ.
• Не проверяют, что построенный для пункта в) пример действительно удовлетворяет всем условиям задачи (например, гирька не повторяется, число не кратно 100).
• Путают понятия «сумма очков всех партий» и «сумма очков одной группы участников» — важно чётко разделять фиксированные и переменные величины.
• В пункте б) ограничиваются проверкой одного частного случая вместо доказательства через общее уравнение — это не даёт полного балла.
• Не доводят оценку до конца: находят неравенство, но забывают привести пример, на котором оно превращается в равенство, — тогда пункт в) не засчитывается полностью.
• В задачах на цифры числа забывают про ограничение $1 \le a \le 9$ для первой цифры и $0\le b,c\le9$ — это может привести к «решениям», выходящим за пределы допустимых чисел.

Как готовиться

Решайте задания 19 из разных лет и разных авторов (Ященко, Семенов, открытый банк ФИПИ) блоками по подтемам: сначала все задачи про гирьки и карточки, затем про числа и цифры, затем про турниры и сюжетные комбинации. После решения каждой задачи выписывайте отдельно: какая величина была инвариантной, какое неравенство давало оценку и как строился пример. Заведите таблицу типовых приёмов (метод уравнения через среднее, метод оценки крайних случаев, метод перебора остатков) и отмечайте, в каких задачах какой приём сработал — так вырабатывается интуиция для быстрого узнавания метода на экзамене. Обязательно тренируйтесь оформлять полное решение с обоснованием оценки и явным примером — именно это даёт максимальный балл за пункт в).