Задание 19: последовательности и прогрессии в числах и их свойствах

О чём эта подтема

Задание 19 в блоке «Числа и их свойства» проверяет умение работать с целыми числами через алгебраические конструкции — чаще всего через арифметическую прогрессию или через набор чисел, каждое из которых принимает одно из нескольких фиксированных значений (например, 1, 2, 3 или 4). Задача почти всегда состоит из трёх пунктов а), б), в) с нарастающей сложностью: сначала проверка конкретного факта (можно/нельзя, да/нет), затем поиск экстремального значения (наибольшее или наименьшее при ограничении), и в конце — полное описание множества всех возможных значений. Здесь не нужна сложная теория — нужна аккуратная работа с уравнениями, делимостью и системой ограничений на целые неотрицательные числа.

Что нужно знать

• Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
• Если прогрессия состоит из различных натуральных чисел, то $a_1\ge 1$ — натуральное, а разность $d\ge 1$ — тоже натуральное число (не дробь и не ноль).
• Минимальная возможная сумма при фиксированном $n$ достигается при $a_1=1,\ d=1$ (то есть числа $1,2,\dots,n$): $$S_{\min}(n)=\frac{n(n+1)}{2}.$$ Этот факт часто нужен для задач на «наибольшее $n$ при условии $S<M$».
• Для поиска $n$ по заданной сумме удобно свести уравнение к виду $$n\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)=2S,$$ а затем перебирать делители $n$ числа $2S$, подставляя обратно и проверяя, что $a_1$ и $d$ получаются натуральными.
• Для задач, где числа $a_1,\dots,a_N$ принимают лишь несколько фиксированных значений (например, 1, 2, 3, 4), ключевой приём — ввести переменные $k_1,k_2,k_3,k_4$ — количество членов, равных каждому из значений. Тогда любая сумма степеней $S_p=\sum a_i^{\,p}$ выражается линейно через эти $k_i$.
• Нужно уверенно решать линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными: находить, при каких значениях параметра выражение становится целым, и проверять условие делимости.
• Полезно понимать идею «крайних распределений»: при фиксированной сумме младшей степени экстремальные (наибольшие или наименьшие) значения старшей степенной суммы достигаются, когда переменные принимают крайние допустимые значения набора, а не «средние».

Как решать: метод и алгоритм

Для арифметической прогрессии.

1. Запишите сумму через $a_1$, $d$, $n$: $S_n=\dfrac{n\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)}{2}$.
2. Преобразуйте условие в уравнение с целыми неизвестными, учитывая, что $a_1\ge1$, $d\ge1$ — натуральные, $n\ge3$.
3. Если ищете конкретный факт (пример, существование), подберите $n$ и проверьте, находятся ли натуральные $a_1,d$.
4. Если ищете наибольшее/наименьшее $n$ при ограничении на сумму, используйте оценку через минимальную сумму $S_{\min}(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ и решите неравенство относительно $n$.
5. Если сумма зафиксирована точно, разложите $2S$ на множители и переберите все допустимые $n$ (делители), для каждого решая уравнение относительно $a_1, d$.

Для сумм степеней ограниченного набора значений.

1. Введите переменные $k_1,\dots,k_m$ — сколько раз встречается каждое из $m$ возможных значений.
2. Составьте систему: $\sum k_i=n$ (общее число членов) и $\sum k_i v_i=S_1$ (известная сумма первой степени).
3. Так как неизвестных обычно больше числа уравнений, выразите «лишние» переменные (например, $k_1,k_2$) через два свободных параметра $t,s$ (например, $t=k_3$, $s=k_4$).
4. Подставьте выражения в формулу искомой суммы (например, $S_4$) — получится линейная функция от $t,s$.
5. Запишите условия неотрицательности всех $k_i\ge0$ — это определит допустимую область значений $t,s$.
6. Если спрашивают «может ли сумма равняться конкретному числу», сведите задачу к линейному диофантову уравнению относительно $t,s$, проверьте делимость и попадание решения в допустимую область.
7. Если спрашивают «какие значения может принимать другая сумма», найдите все целочисленные точки допустимой области, удовлетворяющие дополнительному условию, и вычислите для каждой искомую сумму.

Разбор примера

Пример 1. Даны $n$ различных натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию ($n\ge3$).

а) Может ли сумма быть равна 14? Попробуем $n=4$: $S_4=4a_1+6d=2(2a_1+3d)=14\Rightarrow 2a_1+3d=7$. При $a_1=2,\ d=1$ получаем $4+3=7$ — верно. Числа: $2,3,4,5$, их сумма $2+3+4+5=14$. Значит, ответ — да.

б) Наибольшее $n$, если сумма меньше 900. При фиксированном $n$ минимальная сумма достигается на прогрессии $1,2,\dots,n$: $S_{\min}(n)=\dfrac{n(n+1)}{2}$. Чтобы существовала хоть одна подходящая прогрессия с суммой меньше 900, достаточно, чтобы $S_{\min}(n)<900$: $$\frac{n(n+1)}{2}<900\ \Rightarrow\ n(n+1)<1800.$$ Проверим: $n=41$: $41\cdot42=1722<1800$, значит $S_{\min}(41)=861<900$ — подходит. $n=42$: $42\cdot43=1806$, $S_{\min}(42)=903>900$ — не подходит ни при каком $d$, так как это уже минимально возможная сумма. Ответ: наибольшее $n=41$.

в) Все возможные $n$, если сумма равна 123. Из формулы суммы: $n\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)=246=2\cdot3\cdot41$. Делители 246, не меньшие 3: $3,6,41,82,123,246$.

• $n=3$: $2a_1+2d=82\Rightarrow a_1+d=41$ — решение есть, например $a_1=40,d=1$.
• $n=6$: $2a_1+5d=41$. При $d=1$: $a_1=18$ — целое натуральное, подходит.
• $n=41$: $2a_1+40d=6$. Минимум при $a_1=1,d=1$ равен $42>6$ — решений нет.
• $n=82,123,246$: правая часть ещё меньше, аналогично решений нет.

Ответ: $n=3$ или $n=6$.

Пример 2. Каждое из чисел $a_1,\dots,a_{350}$ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим $S_1,S_2,S_3,S_4$ — суммы первых, вторых, третьих и четвёртых степеней. Дано $S_1=513$.

Введём $k_1,k_2,k_3,k_4$ — количество чисел, равных 1, 2, 3, 4 соответственно. Тогда: $$k_1+k_2+k_3+k_4=350,\qquad k_1+2k_2+3k_3+4k_4=513.$$ Пусть $t=k_3,\ s=k_4$ — свободные параметры. Вычитая уравнения, получаем: $$k_2=163-2t-3s,\qquad k_1=187+t+2s.$$ Все $k_i\ge0$, откуда основное ограничение — $163-2t-3s\ge0$, а $t,s\ge0$.

Выразим искомую сумму: $$S_4=k_1+16k_2+81k_3+256k_4=2795+50t+210s.$$

а) Найти $S_4$, если $S_2=1097,\ S_3=3243$. Эту же величину можно найти и напрямую по тождеству для четырёх точек $x=1,2,3,4$: $x^4=10x^3-35x^2+50x-24$ (полином, совпадающий с $x^4$ в этих точках). Тогда $$S_4=10S_3-35S_2+50S_1-24\cdot350=10\cdot3243-35\cdot1097+50\cdot513-8400=11285.$$ Ответ: $S_4=11285$.

б) Может ли $S_4=4547$? Из формулы $S_4=2795+50t+210s$ следует $50t+210s=1752$. Но $50$ и $210$ делятся на 10, значит левая часть всегда кратна 10, а $1752$ на 10 не делится ($1752:10=175{,}2$). Уравнение решений в целых числах не имеет. Ответ: нет.

в) $S_4=4745$ — найти все значения $S_2$. $50t+210s=1950\Rightarrow 5t+21s=195$. Так как $21\equiv1\pmod5$, для целого $t$ нужно $s\equiv0\pmod5$. Перебираем: $s=0\Rightarrow t=39$; $s=5\Rightarrow t=18$; $s=10\Rightarrow t=-3$ — не подходит. Проверяем неотрицательность $k_2=163-2t-3s$: при $t=39,s=0$: $k_2=85\ge0$; при $t=18,s=5$: $k_2=112\ge0$ — оба варианта допустимы.

Выразим $S_2=k_1+4k_2+9k_3+16k_4=839+2t+6s$:

• $t=39,s=0$: $S_2=839+78=917$;
• $t=18,s=5$: $S_2=839+36+30=905$.

Ответ: $S_2=905$ или $S_2=917$.

Типичные ошибки

• Забывают, что при различных натуральных числах в прогрессии разность $d$ обязана быть натуральным числом ($d\ge1$), а не любым положительным.
• Не учитывают явное условие $n\ge3$ и рассматривают лишние случаи с $n=1,2$.
• При поиске наибольшего $n$ по ограничению на сумму путают минимальную возможную сумму с произвольной — забывают, что нужно взять именно прогрессию $1,2,\dots,n$ для оценки.
• В задачах с фиксированным набором значений пытаются подобрать конкретные числа $a_i$ вручную вместо введения переменных количества — это нереально при большом $n$.
• Забывают проверить неотрицательность всех переменных $k_i$ одновременно, а не только одной из них — из-за этого в ответ попадают «лишние» несуществующие случаи.
• Ошибаются при определении условий делимости в диофантовом уравнении (например, неверно находят, для каких $s$ величина $t$ получается целым).
• Не проверяют итоговый ответ подстановкой обратно в исходные условия (сумму, число элементов).

На что обратить внимание на экзамене

• Всегда явно вводите переменные (количество элементов каждого типа или $a_1,d,n$) и выписывайте систему уравнений — это облегчает проверку экспертом и снижает риск потерять баллы за обоснование.
• Сразу фиксируйте все ограничения (натуральность, $n\ge3$, неотрицательность $k_i$) — это сузит перебор и защитит от неверных «решений».
• Для оценки экстремумов используйте крайние случаи: минимальную прогрессию $1,2,\dots,n$ или крайние распределения переменных $k_i$.
• В пунктах б) и в) чаще всего работает связка «выразить искомую величину через 1–2 свободных параметра — наложить условие делимости — проверить попадание в допустимую область».
• Проверяйте окончательные числовые ответы прямой подстановкой — это быстрый способ отловить арифметическую ошибку до сдачи работы.