Задание 19 ЕГЭ профиль: числовые наборы на карточках и досках

О чём эта подтема

Задание 19 иногда предлагает не «абстрактные» числа, а конкретную процедуру: задуманные числа записывают на доску или карточки, затем к ним добавляют суммы (иногда — другие производные величины), убирают повторы и получают итоговый набор. Подтема «числовые наборы на карточках и досках» — это задачи, где нужно восстановить исходные числа по итоговому набору или, наоборот, построить исходные числа под заданный результат. Обычно задание состоит из трёх пунктов: а) построить пример под конкретный набор; б) построить другой пример или доказать, что он невозможен; в) описать все возможные примеры либо найти экстремальное количество чисел. Вычислений здесь немного, а конструктивное мышление и аккуратная работа с делимостью и порядком чисел — обязательны.

Что нужно знать

• Базовые понятия делимости, НОД и НОК, чётности и нечётности — они почти всегда лежат в основе доказательств.
• Как устроено множество сумм подмножеств набора чисел: сколько различных сумм может получиться (не больше $2^k-1$ для $k$ различных чисел, меньше — если есть повторы или совпадающие суммы).
• Ключевой факт: наименьшее число итогового набора всегда равно наименьшему из задуманных чисел, потому что при натуральных числах сумма двух и более слагаемых больше, чем каждое из них по отдельности.
• Ключевой факт: наибольшее число итогового набора — это сумма всех задуманных чисел.
• Метод «восстановления по возрастанию»: двигаясь по итоговому набору от меньшего к большему, каждый раз проверять, объясняется ли очередное число суммой уже найденных исходных чисел, или оно требует введения нового исходного числа.
• Приём для задач на количество и минимум: если условие связывает суммы пар с делимостью на третье число, часто оказывается, что $a+b=c$ (единственный разумный вариант при $a,b<c$), и дальше задача сводится к отношениям между числами.

Как решать: метод и алгоритм

1. Внимательно зафиксируйте правило формирования доски: что именно суммируется, учитываются ли повторы исходных чисел, как убираются дубли значений.
2. Для пункта а) (построить пример) начните с простого случая: все задуманные числа равны, или их немного, или они образуют арифметическую прогрессию. Подберите вариант и сразу проверьте полный список получающихся сумм.
3. Для пункта б):

• если нужен пример — действуйте как в предыдущем пункте, возможно, слегка изменив предыдущую конструкцию;
• если нужно доказать невозможность — восстанавливайте исходные числа по возрастанию итогового набора. На каком-то шаге либо все числа объясняются без противоречий (тогда пример есть), либо появляется число, которое обязано быть в наборе по правилам суммирования, но которого там нет (тогда пример невозможен).

4. Для пункта в) (все примеры или экстремум):

• восстановите кандидатов на исходные числа тем же способом «от меньшего к большему»;
• для каждого кандидата полностью пересчитайте все суммы и сравните с условием;
• если ищете минимальное или максимальное количество чисел, начните с самого маленького разумного количества, выведите систему условий (часто вида $a+b=c$), проверьте её совместность с ограничениями задачи (диапазон чисел, различность и т.п.); если несовместна — увеличьте количество и повторите.

Разбор примера

Пример 1

Задуманы натуральные числа $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_k$ (возможны повторы). На доску выписываются все различные значения сумм любых непустых наборов этих чисел (с учётом кратности вхождения), упорядоченные по возрастанию, без повторяющихся значений.

а) Набор $2,4,6,8,10$. Все числа чётные с равным шагом — это подсказка взять все задуманные числа равными 2. Возьмём пять двоек: $2,2,2,2,2$. Сумма любых $m$ из них равна $2m$ независимо от выбора, поэтому суммы по $1,2,3,4,5$ слагаемым дают в точности $2,4,6,8,10$ — искомый набор. (Подходят и другие варианты, например $2,4,4$.)

б) Набор $1,3,4,5,6,8,10,11,12,13,15,17,18,19,20,22$. Наименьшее число доски всегда равно наименьшему задуманному, значит $a_1=1$. Если бы было ещё одно число, равное 1, на доске появилась бы сумма $1+1=2$ — но 2 в наборе нет, значит единица встречается один раз. Следующее число доски — 3; оно не объясняется суммами уже найденного, значит это новое исходное число $a_2=3$. Сумма $a_1+a_2=4$ действительно есть следом — согласуется. Следующее число доски — 5; оно не выражается через $1,3,4$, значит нужно новое число $a_3=5$. Тогда на доске обязаны появиться суммы $a_1+a_3=6$ и $a_2+a_3=8$ — оба есть, но также обязана появиться сумма всех трёх: $a_1+a_2+a_3=9$. Числа 9 на доске нет — после 8 сразу идёт 10. Противоречие, значит такого набора чисел не существует.

в) Набор $7,8,10,15,16,17,18,23,24,25,26,31,33,34,41$. Наименьшее число — 7, значит $a_1=7$; сумма $7+7=14$ на доске отсутствует, значит 7 встречается один раз. Следующее число 8 не объясняется суммами, значит $a_2=8$. Следующее число доски — 10 (а не 15, не 16), значит и оно не объясняется суммами $a_1,a_2$ — нужно новое число $a_3=10$. Дальнейшая проверка показывает два рабочих продолжения. Первое: восьмёрка повторяется ещё два раза, итоговый набор задуманных чисел $7,8,8,8,10$ — при полном пересчёте всех сумм (0 или 1 семёрка, 0–3 восьмёрки, 0 или 1 десятка) получаются ровно все 15 требуемых значений. Второе: вместо повторов добавляется одно новое число 16, набор $7,8,10,16$ — суммы одиночных, парных, троек и всех четырёх чисел также дают ровно те же 15 значений. Любое другое продолжение либо не объясняет часть чисел набора, либо создаёт лишние суммы, поэтому других вариантов нет.

Пример 2

На доске число 2015 и ещё не менее двух различных натуральных чисел, не превышающих 5000; сумма любых двух написанных чисел делится на какое-то третье написанное число.

в) Наименьшее количество чисел. Проверим, могут ли всего быть три числа $a<b<c$. Из условия $c \mid (a+b)$ при $a,b<c$ следует $a+b<2c$, а значит единственный вариант — $a+b=c$. Подставляя $c=a+b$ в условия $b \mid (a+c)$ и $a \mid (b+c)$, получаем $b \mid 2a$ и $a \mid 2b$, откуда через отношение чисел $a:b:c=1:2:3$. Если среди $a,b,c$ есть число 2015, при проверке всех трёх позиций либо остальные числа получаются не натуральными, либо превышают 5000. Значит трёх чисел недостаточно. Четыре числа работают: набор $1,2,3,2015$ удовлетворяет условию для каждой пары (единица делит любую сумму, а для пары без единицы, например $2015+2=2017$, делителем служит оставшееся число 1; для пары $1,2015$ сумма $2016$ делится на $3$ и т. д.). Значит минимальное количество чисел на доске равно 4.

а) Ровно 1009 чисел. Подходит набор $1,2,3$ и все нечётные числа от 5 до 2015 — сумма двух нечётных чисел чётна и делится на 2, а единица делит любую сумму; всего чисел в такой конструкции ровно 1009.

б) Ровно пять чисел. Подходит набор $1,2,3,5,2015$ — рассуждение аналогично примеру с четырьмя числами, единица обеспечивает делимость для всех пар, где она сама не участвует.

Типичные ошибки

• Забывают, что повторяющиеся значения сумм записываются на доске один раз, и считают итоговое количество чисел неверно.
• В доказательствах невозможности проверяют лишь один-два варианта продолжения вместо систематического перебора по возрастанию с учётом возможных повторов исходных чисел.
• В пункте «приведите все примеры» находят один рабочий вариант и не объясняют, почему других не существует.
• Забывают проверить дополнительные ограничения условия (диапазон значений, различность чисел) — конструкция подходит по суммам, но не проходит по границам.
• Путают формулировки типа «делится на одно из остальных» с «делится на одно из этих двух» — это меняет всю логику решения.
• Не выполняют финальную полную проверку всех сумм найденного набора, ограничиваясь частичной проверкой нескольких значений.

На что обратить внимание на экзамене

• Сначала выпишите точное правило формирования доски или карточек — вся дальнейшая логика строится на нём.
• Восстанавливайте числа по возрастанию: наименьшее число итогового набора почти всегда — первое исходное число, дальше действуйте пошагово.
• Для доказательства невозможности ищите конкретное число, которое обязано появиться по правилам, но не появляется в условии, — это и есть контраргумент.
• В пункте «все примеры» после нахождения кандидата обязательно сделайте полный пересчёт сумм и явно укажите, почему альтернативные продолжения невозможны.
• Проверяйте границы задачи (диапазон чисел, различность, минимальное или максимальное допустимое значение) — красивая по делимости конструкция может не подходить по этим условиям.
• Начинайте поиск примера с простых «симметричных» наборов: равные числа, единица среди чисел, минимально возможное количество — часто это самый короткий путь к ответу.