Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём два числа с чётными цифрами: 4 и 6. Их сумма $S=4+6=10$. Сумма цифр числа $10$ равна $1+0=1$ — нечётна. Значит, ответ — да, такое возможно.

б) Складывая числа, у которых все цифры чётные, мы складываем в столбик чётные цифры в каждом разряде (с возможным переносом единицы). Последняя (единичная) цифра каждого слагаемого — чётная, значит их сумма в этом разряде чётна, и остаётся чётной цифрой и после сложения (перенос из более старших разрядов не меняет чётности последней цифры результата, так как она формируется только суммой последних цифр слагаемых). Значит последняя цифра числа $S$ всегда чётна. Раз хотя бы один множитель в произведении цифр чётен, всё произведение чётно — значит, оно не может быть нечётным. Ответ — нет.

в) Из пункта б) известно, что последняя цифра $S$ чётна, поэтому произведение цифр числа $S$ всегда чётно. Так как нам нужно натуральное (то есть ненулевое) значение произведения, наименьшее возможное чётное натуральное число — это $2$. Осталось показать, что оно достигается.

Возьмём три числа с чётными цифрами: $A=\underbrace{88\ldots8}_{365},\quad B=\underbrace{22\ldots2}_{365},\quad C=2$.

Складывая $A$ и $B$ в столбик: в каждом разряде $8+2=10$, значит записываем $0$ и переносим $1$ в следующий разряд. Из-за переноса все разряды, кроме последнего, получают дополнительную единицу: $8+2+1=11$, то есть цифра $1$ с переносом $1$ дальше. В итоге $A+B=\underbrace{11\ldots1}_{365}0$ — число из 365 единиц и одного нуля, всего 366 цифр.

Теперь прибавим $C=2$: последняя цифра $0+2=2$, остальные цифры не меняются. Получаем $$S=\underbrace{11\ldots1}_{365}2,$$ число из 366 цифр: 365 единиц и одна двойка на конце.

Произведение цифр этого числа равно $1^{365}\cdot 2=2$.

Все три числа $A,B,C$ — различные натуральные числа с чётными цифрами, значит пример корректен, и наименьшее возможное значение произведения цифр $S$ равно $2$.