Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Упорядочим числа по возрастанию: $a_1<a_2<\dots<a_{10}$ — все они натуральные и различные.

а) Шесть наименьших — это $a_1,\dots,a_6$, их сумма равна $6\cdot5=30$. Если $a_1=3$, то из-за различности и упорядоченности $a_2\ge4,\ a_3\ge5,\dots,a_6\ge8$, поэтому сумма $a_1+\dots+a_6\ge3+4+5+6+7+8=33>30$ — противоречие. Значит, $a_1=3$ невозможно.

б) Шесть наибольших — это $a_5,\dots,a_{10}$, их сумма $=6\cdot15=90$. Складывая обе суммы, числа $a_5,a_6$ считаются дважды: $$(a_1+\dots+a_6)+(a_5+\dots+a_{10})=(a_1+\dots+a_{10})+(a_5+a_6)=30+90=120.$$ Если среднее всех десяти чисел равно 11, их сумма $=110$, тогда $a_5+a_6=120-110=10$. Но из-за упорядоченности натуральных различных чисел $a_5\ge5,\ a_6\ge6$, значит $a_5+a_6\ge11$ — противоречие. Значит, среднее не может равняться 11.

в) Из формулы выше сумма всех чисел равна $120-(a_5+a_6)$, поэтому чтобы максимизировать среднее, нужно минимизировать $a_5+a_6$.

Покажем, что $a_5+a_6\ge15$. Предположим противное: $a_5+a_6\le14$. Тогда $a_1+a_2+a_3+a_4=(a_1+\dots+a_6)-(a_5+a_6)\ge30-14=16$. Так как числа $a_1<a_2<a_3<a_4$ различны, максимум их суммы при фиксированном $a_4$ равен $a_4+(a_4-1)+(a_4-2)+(a_4-3)=4a_4-6$. Из $4a_4-6\ge16$ следует $a_4\ge6$. Тогда $a_5\ge7,\ a_6\ge8$, то есть $a_5+a_6\ge15$ — противоречие с предположением. Значит, $a_5+a_6\ge15$.

Отсюда сумма всех чисел $\le120-15=105$, а среднее арифметическое $\le10{,}5$.

Это значение достигается, например, для набора $2,3,4,6,7,8,14,16,22,23$: сумма шести наименьших $=30$ (среднее 5), сумма шести наибольших $=90$ (среднее 15), общая сумма $=105$, среднее $=10{,}5$.

Следовательно, наибольшее возможное значение среднего арифметического всех чисел равно $10{,}5$.