Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Заметим важный факт: число, которое делится на 3 и оканчивается на 6, можно записать как $10m+6$, и условие делимости на 3 даёт $10m+6\equiv m\pmod 3$, то есть $m=3k$. Значит все такие числа — это $30k+6$, то есть образуют ряд $6,36,66,96,126,156,\dots$ с шагом 30.

а) Возьмём три числа из этого ряда: $6+36+156=198$ — подходит, значит сумма 198 достижима.

б) Каждое число оканчивается на 6, поэтому сумма $n$ таких чисел оканчивается на последнюю цифру числа $6n$. Чтобы сумма оканчивалась на 0 (как 270), нужно $6n\equiv0\pmod{10}$, то есть $n$ должно делиться на 5. Наименьшая возможная сумма пяти различных чисел из ряда: $6+36+66+96+126=330>270$. Значит меньшую сумму 270 получить нельзя — ответ «нет».

в) Каждое число даёт остаток 1 при делении на 5 (так как $30k+6=5(6k+1)+1$), поэтому сумма $n$ чисел даёт остаток $n\bmod5$. Так как $1518=5\cdot303+3$, получаем $n\equiv3\pmod5$, то есть $n\in\{3,8,13,\dots\}$.

Проверим $n=13$: сумма 13 наименьших чисел ряда — арифметической прогрессии с $a_1=6,\ a_{13}=366$: $$S=\frac{13(6+366)}{2}=2418>1518.$$ Значит 13 чисел быть не может, а тем более больше. Следовательно $n\le 8$.

Проверим, что 8 чисел реально: $6+36+66+96+126+156+186+846=1518$. Значит максимум — 8 чисел.