Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Если чисел с окончанием 2 и 6 поровну (по 15), посмотрим на сумму по модулю 10. Сумма всех чисел сравнима с суммой их последних цифр: $15\cdot 2+15\cdot 6=30+90=120$, то есть сумма должна оканчиваться на 0. Но $2454$ оканчивается на 4 — противоречие, значит поровну быть не может.

б) Пусть на доске ровно одно число оканчивается на 6, тогда остальные 29 — на 2. Так как все числа различны и оканчиваются на 2, наименьшие возможные значения — это $2,12,22,\dots,282$ (арифметическая прогрессия с разностью 10, 29 членов). Их сумма минимальна и равна $$\frac{(2+282)\cdot 29}{2}=\frac{284\cdot29}{2}=4118.$$ Это уже больше 2454, а ведь нужно ещё прибавить хотя бы одно число на 6 (не меньше 6). Значит сумма всех 30 чисел заведомо больше 2454 — такого набора быть не может.

в) Пусть $n$ — число чисел, оканчивающихся на 6, тогда $30-n$ — оканчивающихся на 2. Минимальная сумма чисел с окончанием на 2 (их $30-n$ штук, различных) — это сумма первых $30-n$ членов прогрессии $2,12,22,\dots$, то есть $$S_2=\frac{(4+10(29-n))(30-n)}{2}=5n^2-297n+4410.$$ Минимальная сумма чисел с окончанием на 6 (их $n$ штук) — сумма прогрессии $6,16,26,\dots$: $$S_6=\frac{(12+10(n-1))n}{2}=5n^2+n.$$ Общая сумма не меньше $S_2+S_6$, поэтому $$2454\ge 10n^2-296n+4410 \;\Longleftrightarrow\; 5n^2-148n+978\le0.$$ Решая квадратное неравенство, получаем $n\ge 10$ (с учётом целости $n$). При $n=10$ суммы чисел с окончаниями 2 и 6 (по 20 и 10 штук) в сумме дают число, оканчивающееся на 0 (аналогично пункту а), что противоречит $2454$. Значит $n\ge11$.

Проверим, что $n=11$ реализуемо: возьмём 11 чисел $6,16,\dots,96,196$ и 19 чисел $2,12,\dots,172,182$. Подсчёт суммы даёт ровно $2454$, значит минимальное количество чисел с окончанием на 6 равно $11$.