Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Ключевой факт: количество нулей на конце $n!$ равно показателю степени 5 в разложении $n!$ (двоек всегда хватает), а по формуле Лежандра $v_5(n!)=\sum_{k\ge1}\left[\dfrac{n}{5^k}\right]$.

а) Возьмём $n=40$: $v_5(40!)=\left[\frac{40}{5}\right]+\left[\frac{40}{25}\right]=8+1=9$. Двоек в $40!$ намного больше 9 (среди чисел до 40 их 20 чётных), значит нулей ровно 9. Такое $n$ существует.

б) Посчитаем $v_5$ для соседних значений: $v_5(99!)=\left[\frac{99}{5}\right]+\left[\frac{99}{25}\right]=19+3=22$, а $v_5(100!)=\left[\frac{100}{5}\right]+\left[\frac{100}{25}\right]=20+4=24$. При $n\le99$ число нулей не превышает 22, а при $n\ge100$ — не меньше 24 (так как $100!=99!\cdot100$ добавляет ещё нули). Значение 23 «перескакивается», поэтому такого $n$ нет.

в) Для $n<100$ число нулей в $n!\cdot(100-n)!$ равно $$k=\left[\frac{n}{5}\right]+\left[\frac{100-n}{5}\right]+\left[\frac{n}{25}\right]+\left[\frac{100-n}{25}\right].$$ Используя свойство $[\alpha]+[m-\alpha]=m$ при целом $\alpha$ и $m-1$ при нецелом, получаем: первая пара равна 20, если $n$ кратно 5, и 19 иначе; вторая пара равна 4, если $n$ кратно 25, и 3 иначе. Значит $k=24$ (n кратно 25), $k=23$ (n кратно 5, но не 25), $k=22$ (n не кратно 5). Нужен случай $k=23$, то есть $n$ кратно 5, но не 25. Среди чисел от 1 до 99 кратных 5 — 19 штук, из них кратных 25 — 3 (25,50,75). Итого подходящих: $19-3=16$.