Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Ключевой факт: если число $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$ разложено на простые множители, то число его натуральных делителей равно $\tau(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)$ — это следует из того, что делитель получается выбором степени каждого простого множителя от 0 до $\alpha_i$.

а) Нужно $\tau(n)=5$ — простое число, значит единственный вариант разложения: $n=p^4$. Берём $p=5$: $5^4=625$ — трёхзначное, делители 1,5,25,125,625.

б) Нужно $\tau(n)=15=3\cdot5=(2+1)(4+1)$, значит $n=p^2\cdot q^4$. Берём $q=3,p=2$: $2^2\cdot3^4=324$ — подходит, делителей $(2+1)(4+1)=15$.

в) Раскладываем $20$ на множители больше 1: $20=20,\ 10\cdot2,\ 5\cdot4,\ 5\cdot2\cdot2$. Это даёт формы числа: $p^{19}$, $p^9q$, $p^4q^3$, $p^4qr$. Проверяем минимальные значения:

• $p^{19}$: даже $2^{19}\gg1000$ — не подходит.
• $p^9q$: минимум $2^9\cdot3=1536>999$ — не подходит.
• $p^4q^3$: минимум $2^4\cdot3^3=432$, ещё $3^4\cdot2^3=648$ — оба трёхзначные, других нет (при увеличении простых чисел значение превышает 999).
• $p^4qr$: перебираем $p=2$ и разные пары $q<r$: $2^4\cdot3\cdot5=240$, $\cdot7=336$, $\cdot11=528$, $\cdot13=624$, $\cdot17=816$, $\cdot19=912$; $2^4\cdot5\cdot7=560$, $2^4\cdot5\cdot11=880$; при $p=3$: $3^4\cdot2\cdot5=810$. Дальнейшие комбинации превышают 999.

Всего получаем $2+9=11$ подходящих чисел.