Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть числа $n^2$ и $(n+m)^2$ дают одинаковые остатки при делении на 200. Тогда их разность делится на 200.

а) При $m=16$: $(n+16)^2-n^2=32(n+8)$. Условие $32(n+8)\vdots200$ равносильно $4(n+8)\vdots25$, то есть $n+8=25k$, $n=25k-8$. При $k=1$ получаем $n=17$ — подходящее натуральное число.

б) Общее решение $n=25k-8$. Нужно, чтобы $n$ было трёхзначным: $100\le25k-8\le999$, откуда $\frac{108}{25}\le k\le\frac{1007}{25}$, то есть $5\le k\le40$ (целые $k$). Таких $k$ ровно $40-5+1=36$, значит и подходящих $n$ — 36.

в) Для общего $m$ разность $(n+m)^2-n^2=2nm+m^2$ должна делиться на 200, то есть $\frac{m(2n+m)}{200}$ — целое. Отсюда $m$ обязательно чётно: $m=2k$. Подставив, получаем условие $\frac{k(n+k)}{50}\in\mathbb{Z}$, то есть $k(n+k)\vdots50$.

Разбирая случаи по остатку $k$ от деления на 5 и на 2 (кратно ли $k$ пяти, чётно ли), находим, что ровно 36 подходящих трёхзначных $n$ получается только когда $k$ чётно, не кратно 5, и $n+k$ кратно 25, при этом $k\in[6;24]\cup[26;48]$. Перебор таких $k$ даёт 18 значений: $6,8,12,14,16,18,22,24,26,28,32,34,36,38,42,44,46,48$. Каждому из них соответствует своё двузначное $m=2k$ (от 12 до 96). Таких $m$ — 18.