Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Заметим, что каждое $a_i$ с условием $0\le a_i\le99$ можно единственным образом записать как $a_i=10b_i+c_i$, где $0\le b_i,c_i\le9$. Подставив это в исходную сумму, получаем $N=10n+m$, где $n=b_3\cdot10^3+b_2\cdot10^2+b_1\cdot10+b_0$ и $m=c_3\cdot10^3+c_2\cdot10^2+c_1\cdot10+c_0$ — произвольные целые числа от $0$ до $9999$. Значит, число способов записать $N$ через $a_i$ равно числу представлений $N=10n+m$ с $0\le n,m\le9999$.

а) Для $N=1292$ нужно $m=1292-10n\ge0$, то есть $n\le129{,}2$, и $n\ge0$. Так как $m\le1292\le9999$ всегда выполняется, число подходящих $n$ равно количеству целых чисел от $0$ до $129$ — их $130$.

б) Для $N=1290+l$ ($l=0,\dots,9$) верхняя граница $n$ равна $\left\lfloor N/10\right\rfloor=129$ независимо от $l$ (так как $l<10$), а $m\le N\le1299<9999$. Поэтому для каждого из десяти чисел $1290,\dots,1299$ получаем ровно $130$ представлений — такие $10$ чисел существуют.

в) Разложим ещё раз $m=10k+l$, где $l$ — последняя цифра $m$ ($0\le l\le9$), $k$ — целое от $0$ до $999$. Тогда $N-l=10(n+k)$, и обозначив $K=(N-l)/10=n+k$, число представлений $N$ равно числу способов записать $K=n+k$ с $0\le n\le9999,\ 0\le k\le999$. Число таких пар равно $\min(9999,K)-\max(0,K-999)+1$.

Если $K\le999$, эта величина равна $K+1$; условие $K+1=130$ даёт $K=129$. Если $K\ge9999$, величина равна $10999-K$; условие $10999-K=130$ даёт $K=10869$.

Для каждого такого $K$ число $N=10K+l$ при $l=0,\dots,9$ даёт $10$ различных значений $N$. Итого получаем $10+10=20$ чисел $N$, представимых ровно $130$ способами.