Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общее наблюдение. Если $q$ — наименьший простой делитель числа $n$, то $a_n=n/q$. Значит уравнение $a_m=n$ равносильно $m=np$, где $p$ — наименьший простой делитель самого числа $m=np$. Это возможно только если $p\le q$: тогда среди множителей $n$ и добавленного $p$ самым маленьким простым будет именно $p$. Если же $p>q$, наименьшим делителем $np$ окажется $q$, а не $p$, и равенство $a_m=n$ не выполнится. Значит $b_n$ — это количество простых чисел $p\le q$, то есть число простых, не превосходящих наименьший простой делитель $n$.

а) Ищем $b_{187}$. Раскладываем $187=11\cdot17$. Подходящие $m=187p$, причём $p\le 11$ (наименьший простой делитель числа $187$). Простые $p\le11$: $2,3,5,7,11$ — всего 5 штук. Значит $b_{187}=5$.

б) По общему наблюдению $b_n$ зависит только от наименьшего простого делителя $n$: это количество простых чисел, не превышающих этот делитель. Поэтому $b_n=b_m$ тогда и только тогда, когда наименьшие простые делители $n$ и $m$ совпадают.

в) Раскладываем $m=8n^3+12n^2-2n-3=(2n+3)(4n^2-1)=(2n+3)(2n+1)(2n-1)$ — произведение трёх последовательных нечётных чисел. Оно нечётно, значит $2\nmid m$. Среди трёх последовательных нечётных чисел одно всегда делится на 3 (как и среди любых трёх последовательных натуральных). Значит наименьший простой делитель $m$ равен 3. Тогда $b_m$ — количество простых $p\le3$, то есть $p=2,3$, и $b_m=2$.