Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Представим $n=a_n\cdot b_n$, где $a_n$ — наибольший точный квадрат, на который делится $n$. Если бы в $b_n$ какой‑то простой множитель $p$ входил во второй степени, то число $p^2$ можно было бы «перекинуть» в $a_n$, и $a_n$ не было бы максимальным. Значит, в $b_n$ каждый простой множитель входит ровно в первой степени, т.е. $b_n$ — произведение $k$ различных простых чисел. Число делителей такого числа равно $2^k$ (формула $d(n)=\prod (e_i+1)$, здесь все $e_i=1$). Так как $18$ не является степенью двойки, такого $k$ не существует — ответ «нет».

б) Условие $a_n=25$ означает, что $n=25x$, причём $x$ не содержит квадратов простых чисел (иначе максимальный квадратный делитель был бы больше $25$). Так как $n\le 1000$, получаем $x\le 40$. Нужно посчитать количество свободных от квадратов чисел от $1$ до $40$.

Применим включение‑исключение по квадратам простых $4,9,25$ (квадрат следующего простого $49>40$ не учитывается): $$40-\left\lfloor\frac{40}{4}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{40}{9}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{40}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{40}{36}\right\rfloor=40-10-4-1+1=26.$$ Здесь $10,4,1$ — количества чисел, делящихся на $4,9,25$ соответственно, а $+1$ возвращает число $36$, которое было вычтено дважды (оно делится и на $4$, и на $9$). Других пересечений нет, так как $4\cdot25=100>40$ и $9\cdot25>40$. Итого $26$ значений $n$.

в) Число $n$ заканчивается на $9$, значит оно нечётно и не делится на $5$. Тогда и $a_n$, будучи делителем $n$, тоже нечётно и не делится на $5$. Поскольку $a_n$ — точный квадрат, его последняя цифра может быть только $0,1,4,5,6,9$; с учётом нечётности и отсутствия делимости на $5$ остаются варианты $1$ или $9$.

Так как $n=a_n\cdot b_n$ заканчивается на $9$, последние цифры $a_n$ и $b_n$ должны давать в произведении цифру $9$ (по модулю $10$). Перебор пар цифр $(x,y)$ с $x\cdot y\equiv9\pmod{10}$ даёт варианты $(1,9),(9,1),(3,3),(7,7)$. Из них только $(1,9)$ и $(9,1)$ содержат допустимую цифру для квадрата ($1$ или $9$); варианты с $3$ и $7$ отбрасываются, так как квадрат не может заканчиваться на эти цифры.

В обоих допустимых случаях сумма цифр $a_n+b_n$ равна $1+9=10$ или $9+1=10$. Значит, сумма последних цифр $a_n$ и $b_n$ всегда равна $10$.