Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Основная формула. Если $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ — разложение на простые множители, то число натуральных делителей равно $\tau(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)$, так как каждый делитель получается выбором показателя от 0 до $\alpha_i$ для каждого простого множителя независимо.

а) Нужно получить $\tau(n)=7$. Так как 7 — простое число, единственный способ разложить его в произведение множителей вида $(\alpha+1)$ — это $7=7$, то есть $n=p^6$. Берём $p=3$: $n=3^6=729$, делители — $1,3,9,27,81,243,729$ — ровно 7 штук.

б) Нужно $\tau(n)=21=3\cdot7=(2+1)(6+1)$, значит $n=p_1^6\cdot p_2^2$. Подставим наименьшие простые: $n=2^6\cdot3^2=64\cdot9=576$ — трёхзначное число, и $\tau(576)=(6+1)(2+1)=21$. Значит, такие числа существуют.

в) Раскладываем $18$ на множители вида $(\alpha_i+1)$: $18=18=9\cdot2=6\cdot3=3\cdot3\cdot2$, что даёт формы $p^{17}$, $p_1^8p_2$, $p_1^5p_2^2$, $p_1^2p_2^2p_3$.

• $p^{17}$: даже $2^{17}>1000$ — не подходит.
• $p_1^8p_2$: подходит только $2^8\cdot3=768$.
• $p_1^5p_2^2$: подходят $2^5\cdot3^2=288$, $2^5\cdot5^2=800$, $3^5\cdot2^2=972$.
• $p_1^2p_2^2p_3$: перебором простых получаем 13 чисел: 180, 252, 300, 396, 450, 468, 588, 612, 684, 700, 828, 882, 980.

Всего $1+3+13=17$ трёхзначных чисел.