Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Разность квадратов раскладывается по формуле разности квадратов: $$(n+17)^2-n^2=(n+17-n)(n+17+n)=17(2n+17).$$ Чтобы $n^2$ и $(n+17)^2$ давали одинаковые остатки при делении на 69, нужно, чтобы эта разность делилась на 69. Подберём $n$ так, чтобы второй множитель сам стал равен 69: $2n+17=69\Rightarrow n=26$. Тогда разность равна $17\cdot69$ — кратна 69, значит такое $n$ существует.

б) Числа $n$ и $n+17$ всегда разной чётности (17 нечётно), поэтому одно из чисел $n^2$, $(n+17)^2$ чётное, а другое нечётное. Их разность — нечётное число. Но число, кратное 68 (чётному числу), обязательно чётно. Значит разность не может делиться на 68, и одинаковых остатков при делении на 68 быть не может.

в) Аналогично п. а): $(n+m)^2-n^2=m(2n+m)$, и это выражение должно делиться на $68=4\cdot17$. Если $m$ нечётно, то $2n+m$ тоже нечётно, произведение двух нечётных чисел нечётно и не делится на 68 — такие $m$ не подходят. Пусть $m=2x$. Тогда $$m(2n+m)=2x(2n+2x)=4x(n+x),$$ и условие делимости на 68 сводится к тому, что $x(n+x)$ делится на 17. Если $x$ само кратно 17, то условие выполняется для любого $n$ — тогда $k(m)=900$ (все трёхзначные числа), это не даёт минимального ненулевого значения. Если $x$ не кратно 17, то нужно $n+x\equiv0\pmod{17}$, то есть $n$ должно иметь фиксированный остаток при делении на 17. Количество трёхзначных чисел с данным остатком определяет $k(m)$. Среди 900 трёхзначных чисел ($100\le n\le999$) при делении $900=17\cdot52+16$: 16 остатков встречаются по 53 раза, а один остаток — только 52 раза (это остаток $14$, соответствующий числам от 999 вниз, где не хватает одного повторения). Взяв $x=20$ (тогда $m=2x=40$ — двузначное, не кратное 17), получаем $n\equiv -20\equiv14\pmod{17}$ — именно тот редкий остаток, дающий $k(m)=52$. Таким образом наименьшее ненулевое значение $k$ равно $52$.