Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общее свойство: для любого целого $a$ и действительного $x$ верно $[a+x]=a+[x]$ — целую часть можно "вынести" за скобку целого слагаемого. Также всегда $[x]\le x$.

а) Используем $[x]\le x$: $$[\frac n2]+[\frac n4]+[\frac n7]\le \frac n2+\frac n4+\frac n7=\frac{25n}{28}<n.$$ Сумма всегда строго меньше $n$, значит равенство $=n$ невозможно ни для какого натурального $n$.

б) Достаточно подобрать пример. При $n=24$: $$[\frac{24}{2}]+[\frac{24}{3}]+[\frac{24}{4}]=12+8+6=26=24+2.$$ Равенство выполняется, значит такое $n$ существует.

в) НОК чисел $2,3,9,17$ равно $306$. Представим $n=306k+t$, где $0\le t\le305$, $k\ge0$ целое. Так как $306,153,102,34,18$ делятся на соответствующие знаменатели, по свойству вынесения целой части: $$[\frac n2]+[\frac n3]+[\frac n9]+[\frac n{17}]=307k+\Big([\tfrac t2]+[\tfrac t3]+[\tfrac t9]+[\tfrac t{17}]\Big).$$ Уравнение принимает вид $307k+S(t)=306k+t+1945$, то есть $$k=t+1945-S(t),\quad S(t)=[\tfrac t2]+[\tfrac t3]+[\tfrac t9]+[\tfrac t{17}].$$ Поскольку $S(t)\le t(\tfrac12+\tfrac13+\tfrac19+\tfrac1{17})<4t\le4\cdot305$, выражение $t+1945-S(t)>1945-4\cdot306>0$, и это целое неотрицательное число — единственное подходящее $k$ для каждого $t$. Так как $t$ пробегает $306$ значений ($0$ до $305$), получаем ровно $306$ различных натуральных $n$.