Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Всего девочки играют $2\cdot d\cdot m$ партий с мальчиками; при $m=3,\,d=2$ это $2\cdot2\cdot3=12$ партий, и если обе девочки выигрывают все, получают $12$ очков. Кроме того, встречаясь между собой, они играют $2$ партии, и независимо от результата все $2$ очка остаются у девочек. Максимум: $12+2=14$.

б) При $m+d=10$ участников всего $10$, каждый играет с каждым дважды, число партий $2\cdot\binom{10}{2}=2\cdot\dfrac{10\cdot9}{2}=90$. В каждой партии, независимо от исхода, разыгрывается ровно $1$ очко (победа+поражение $=1$, ничья+ничья $=1$). Значит, суммарно набрано $90$ очков.

в) Всего детей $8d$, партий $2\binom{8d}{2}=8d(8d-1)$, столько же очков разыграно. Так как у мальчиков втрое больше очков, у девочек $\dfrac14$ всех очков: $S_д=2d(8d-1)=16d^2-2d$.

Максимум очков девочек достигается, если каждая выигрывает у всех мальчиков (даёт $2\cdot d\cdot 7d=14d^2$ очков) плюс очки внутри своих партий $d(d-1)$ (эти очки всегда достаются девочкам). Максимум: $14d^2+d(d-1)=15d^2-d$.

Требуется $16d^2-2d\le15d^2-d \Rightarrow d^2-d\le0 \Rightarrow d(d-1)\le0$, то есть $0\le d\le1$. Так как девочки есть, $d=1$.

Проверка: при $d=1,m=7$ всего $8$ детей, $56$ партий, $56$ очков; девочка набирает $14$ очков (все победы над мальчиками), мальчики — $42$, что втрое больше. Условие выполнено.