Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Заполним первую строку единицами, вторую — тройками, остальные четыре строки — двойками. В каждом столбце числа: $1,3,2,2,2,2$, наименьшее в каждом столбце равно $1$, поэтому сумма Васи $=6\cdot1=6$. В строках наименьшие числа: $1,3,2,2,2,2$, сумма Пети $=1+3+2\cdot4=12=2\cdot6$. Значит, в два раза больше — возможно.

б) Сумма Пети не может превысить $36$, так как в каждой строке наименьшее число $\le 6$, а строк шесть: $P\le 6\cdot6=36$. Сумма Васи не меньше $6$, так как в каждом столбце наименьшее число $\ge1$: $V\ge6\cdot1=6$. Если $P=6V$, то из $V\ge6$ и $P\le36$ получаем единственную возможность $V=6,\;P=36$. Но $P=36$ означает, что в каждой строке минимум равен $6$, то есть все числа таблицы равны $6$. Тогда и в каждом столбце минимум равен $6$, и $V=36\ne6$ — противоречие. Значит, шестикратное отношение невозможно.

в) Построим пример: первая строка — все единицы, остальные пять строк — все шестёрки. Тогда в каждом столбце числа $1,6,6,6,6,6$, минимум $=1$, сумма Васи $V=6$. Наименьшие по строкам: $1,6,6,6,6,6$, сумма Пети $P=1+5\cdot6=31$. Отношение $\dfrac{31}{6}$.

Покажем, что больше получить нельзя. Если $V\ne6$, то $V\ge7$ (сумма шести целых чисел от $1$ до $6$, не равная $6$, не меньше $7$), а $P\le36$, поэтому $\dfrac{P}{V}\le\dfrac{36}{7}<\dfrac{31}{6}$.

Если же $V=6$, то в каждом столбце наименьшее число равно $1$ (иначе сумма минимумов была бы больше $6$), значит в каждом столбце есть единица. Хотя бы одна из этих единиц принадлежит какой-то строке — эта строка даёт вклад в $P$ не более $1$. Остальные пять строк дают вклад не более $6$ каждая, так как все числа не превышают $6$. Отсюда $P\le1+5\cdot6=31$. Таким образом, $\dfrac{31}{6}$ — наибольшее возможное отношение.