Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Подбираем числа так, чтобы сумма числителей и знаменателей дала дробь, равную $9/23$. Возьмём $a=11,\ b=30,\ c=16,\ d=39$ — все двузначные и попарно разные. Тогда $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{27}{69}=\dfrac{9}{23}$. Равенство выполняется, значит ответ «да».

б) Предположим противное: $11\cdot\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$. Умножив на $bd(b+d)$, получаем $11(a+c)bd=(b+d)(ad+bc)$. Раскрыв скобки и перенеся члены, приходим к равенству $ad(10b-d)=bc(b-10d)$. Так как $a,b,c,d$ — двузначные числа (от 10 до 99), оценим множители: $10b-d\ge 100-99>0$, а $b-10d\le 99-100<0$. Значит левая часть положительна, а правая отрицательна — равенство невозможно. Получаем противоречие, поэтому дробь не может быть в 11 раз меньше суммы.

в) Из $a>5b$ и $c>8d$ для целых чисел следует $a\ge 5b+1$, $c\ge 8d+1$. Так как $a\le 99$, получаем $5b+1\le 99$, то есть $b\le 19$ (целое). Также $d\ge10$ как двузначное число. Тогда $$\frac{a+c}{b+d}\ge\frac{5b+8d+2}{b+d}=5+\frac{3d+2}{b+d}\ge5+\frac{3d+2}{d+19}=8-\frac{55}{d+19}\ge8-\frac{55}{29}=\frac{177}{29}.$$ Здесь использованы монотонность дроби по $b$ (чем меньше $b+d$ в знаменателе при фиксированном $d$, тем больше вся дробь, поэтому берём $b=19$) и убывание $\frac{55}{d+19}$ при увеличении $d$ (берём минимальное $d=10$). Проверка: при $a=96,\ b=19,\ c=81,\ d=10$ все условия выполняются и $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{177}{29}$. Значит минимальное значение равно $\dfrac{177}{29}$.