Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно подобрать пример. Возьмём $a=10,\ b=20,\ c=14,\ d=72$ — все числа двузначные и попарно различны. Тогда $$\frac{a+c}{b+d}=\frac{10+14}{20+72}=\frac{24}{92}=\frac{6}{23}.$$ Значит равенство возможно.

б) Предположим, что нашлись такие числа, что $$11\cdot\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}.$$ Умножив обе части на $bd(b+d)$, приведя к общему знаменателю и раскрыв скобки, получаем $$ad(10b-d)=bc(b-10d).$$ Оценим знаки множителей: так как $b,d$ — двузначные числа ($10\le b,d\le99$), то $10b-d\ge 10\cdot10-99=1>0$, а $b-10d\le99-10\cdot10=-1<0$. Значит левая часть положительна, правая отрицательна — равенство невозможно. Получили противоречие, значит такое соотношение выполняться не может.

в) Из строгих неравенств $a>4b$ и $c>7d$ для целых чисел следует $a\ge4b+1$, $c\ge7d+1$. Так как $a\le99$, то $4b+1\le99$, откуда $b\le24,5$, а так как $b$ целое — $b\le24$. Также $d\ge10$ (двузначное число). Подставляя нижние оценки $a$ и $c$: $$\frac{a+c}{b+d}\ge\frac{4b+7d+2}{b+d}=4+\frac{3d+2}{b+d}.$$ Дробь $\frac{3d+2}{b+d}$ убывает по $b$, поэтому берём максимально возможное $b=24$: $$4+\frac{3d+2}{d+24}=7-\frac{70}{d+24}.$$ Эта величина возрастает по $d$, а минимальное $d=10$, значит наименьшее значение при $d=10$: $$7-\frac{70}{34}=\frac{84}{17}.$$ Проверим достижимость: при $b=24,d=10$ нужны $a\ge97$, $c\ge71$; берём $a=97,c=71$ — все числа двузначные и различны, и $$\frac{a+c}{b+d}=\frac{97+71}{24+10}=\frac{168}{34}=\frac{84}{17}.$$ Значит минимальное значение дроби равно $\frac{84}{17}$.