Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно просто подобрать числа. Возьмём $a=10,\ b=20,\ c=11,\ d=37$ — все двузначные и разные. Тогда $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{21}{57}=\dfrac{7}{19}$. Равенство выполняется, значит ответ — да.

б) Предположим, что $11\cdot\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$. Умножим обе части на $bd(b+d)$ и раскроем скобки: $$11(a+c)bd=(b+d)(ad+bc)\ \Rightarrow\ 11abd+11bcd=abd+bcd+ad^2+b^2c.$$ Перенесём и сгруппируем: $$ad(10b-d)=bc(b-10d).$$ Так как $b,d$ — двузначные ($10\le b,d\le99$), то $10b-d\ge100-99=1>0$, а $b-10d\le99-100=-1<0$. Значит слева стоит положительное число ($a,d>0$, множитель $10b-d>0$), а справа — отрицательное ($b,c>0$, множитель $b-10d<0$). Равенство невозможно — противоречие. Значит, такая ситуация не может выполняться.

в) Из $a>3b$ и целочисленности $a\ge3b+1$, аналогично $c\ge6d+1$. Поскольку $a\le99$, получаем $3b+1\le99\Rightarrow b\le32,67\Rightarrow b\le32$ (b целое). Также $d\ge10$ (двузначное число). Подставляя минимальные $a=3b+1$, $c=6d+1$, получаем оценку: $$\frac{a+c}{b+d}\ge\frac{3b+6d+2}{b+d}=3+\frac{3d+2}{b+d}.$$ Чтобы минимизировать это выражение, знаменатель нужно увеличить — берём $b=32$: $$3+\frac{3d+2}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}.$$ Это выражение растёт с ростом $d$, поэтому минимум достигается при наименьшем $d=10$: $$6-\frac{94}{42}=\frac{79}{21}.$$ Проверим: при $b=32,\ d=10,\ a=97,\ c=61$ все числа двузначные и различные, и $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{158}{42}=\dfrac{79}{21}$. Значит минимальное значение дроби равно $\dfrac{79}{21}$.