Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общая сумма всех 80 чисел равна $80\cdot31=2480$. Пусть зелёных карточек $n$, их сумма $S$, тогда жёлтых $80-n$ с суммой $2480-S$. После утроения жёлтых сумма стала $88\cdot80=7040$, значит $S+3(2480-S)=7040$, откуда $S=200$. То есть сумма чисел на зелёных карточках всегда равна 200, а сумма чисел на жёлтых (до утроения) всегда равна $2480-200=2280$ — это не зависит от количества карточек.

Так как все жёлтые числа различны и каждое больше любого зелёного, при заданном числе зелёных карточек $n_g$ минимальную сумму жёлтых можно получить, сделав зелёные числа максимально «равномерными» — два соседних значения $x=\lfloor200/n_g\rfloor$ и $x+1$. Тогда максимум среди зелёных равен $x+1$ (если есть остаток) или $x$, а самое маленькое возможное жёлтое число — на единицу больше этого максимума. Минимальная сумма $n_y$ различных чисел, начинающихся с этого значения, равна сумме арифметической прогрессии.

а) $n_y=50,\ n_g=30$: $x=\lfloor200/30\rfloor=6$, максимум зелёных $=7$, жёлтые начинаются с 8. Минимальная сумма: $50\cdot8+\frac{50\cdot49}{2}=1625\le2280$ — подходит, излишек можно добавить к самой большой карточке. Значит, 50 жёлтых возможно.

б) $n_g=15,\ n_y=65$: $x=\lfloor200/15\rfloor=13$, максимум зелёных $=14$, жёлтые начинаются с 15. Минимальная сумма: $65\cdot15+\frac{65\cdot64}{2}=3055>2280$ — невозможно.

в) Ищем наибольшее $n_y$, при котором минимальная сумма жёлтых не превышает 2280. Для $n_y=57,\ n_g=23$: $x=8$, максимум зелёных $=9$, старт 10, сумма $57\cdot10+\frac{57\cdot56}{2}=2166\le2280$ — подходит. Для $n_y=58,\ n_g=22$: $x=9$, максимум зелёных $=10$, старт 11, сумма $58\cdot11+\frac{58\cdot57}{2}=2291>2280$ — не подходит. Так как минимальная сумма жёлтых растёт с увеличением $n_y$, дальше проверять не нужно: максимум — 57 жёлтых карточек.