Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Запишем трёхзначное число как $N=100a+10b+c$, где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$, причём число не кратно 100, значит $b$ и $c$ не равны нулю одновременно.

а) Условие $\dfrac{N}{a+b+c}=89$ даёт $100a+10b+c=89(a+b+c)$, то есть $11a=79b+88c$. Подбираем $b=0,\,c=1$: $11a=88\Rightarrow a=8$. Получаем число $801$: $8+0+1=9$, $801:9=89$ — подходит.

б) Условие $\dfrac{N}{a+b+c}=86$ даёт $100a+10b+c=86(a+b+c)$, то есть $14a=76b+85c$. Если $c=0$, равенство $14a=76b$ невозможно, так как $76b$ не делится на $14$ при $a\le9$ (кроме $b=0$, что запрещено). Если $b=0$, аналогично $14a=85c$ невозможно. Значит оба $b,c>0$, тогда $76b+85c\ge76+85=161>14\cdot9=126$ — противоречие. Решений нет.

в) Пусть $k=\dfrac{N}{a+b+c}$. Тогда $100a+10b+c=k(a+b+c)$, откуда $(100-k)a=(k-10)b+(k-1)c$. Так как $a\le9$, а $b+c\ge1$ (число не кратно 100), получаем оценку $$9(100-k)\ge(100-k)a=(k-10)b+(k-1)c\ge(k-10)(b+c)\ge k-10.$$ Отсюда $9(100-k)\ge k-10\Rightarrow 900-9k\ge k-10\Rightarrow 10k\le910\Rightarrow k\le91$. Значение $k=91$ достигается: для $N=910$ сумма цифр $9+1+0=10$, и $910:10=91$. Значит наибольшее возможное значение частного равно $91$.