Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть $n=\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$, и $s(n)=a+b+c$. Число хорошее, если $k=\dfrac{n}{s(n)}$ — целое.

а) Преобразуем дробь, выделив целую часть: $$k=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=\frac{100(a+b+c)-90b-99c}{a+b+c}=100-\frac{90b+99c}{a+b+c}.$$ Так как $a+b+c\ge1$ и $90b+99c\ge0$, второе слагаемое неотрицательно, значит $k\le100$. Равенство достигается при $b=c=0$ (тогда $n=100,200,\dots,900$), например $n=100$: $s(n)=1$, $k=100$. Это максимум.

б) Представим $k$ иначе: $$k=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=10+\frac{90a+10b+c-10(a+b+c)}{a+b+c}=10+9\cdot\frac{10a-c}{a+b+c}.$$ При $a\ge1$ имеем $10a-c\ge10-9=1>0$, поэтому второе слагаемое строго положительно, и $k>10$. Так как $k$ целое, минимально возможное $k=11$. Оно достигается, когда $\dfrac{10a-c}{a+b+c}=\dfrac19$, что выполняется при $a=1,\ b=9,\ c=8$: $n=198$, $s(n)=18$, $198/18=11$. Значит наименьшее значение — 11.

в) Проверим, возможно ли $k=65$. Тогда $n=65\,s(n)$, то есть $$100a+10b+c=65a+65b+65c\ \Rightarrow\ 35a=55b+64c.$$ Правая часть должна делиться на 5, а $55b$ делится на 5 всегда, значит $64c$ должно делиться на 5, то есть $c$ кратно 5 (0 или 5). Если $c=5$, то $64\cdot5=320>35\cdot9=315$ — правая часть больше максимально возможной левой, противоречие. Значит $c=0$, и уравнение превращается в $35a=55b$, то есть $7a=11b$. Так как $\gcd(7,11)=1$, $a$ должно делиться на 11, что невозможно при $a\le9$. Следовательно, равенство $k=65$ невозможно.