Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть число состоит из цифр $a,b,c$ (a — первая, не равная 0), тогда само число равно $100a+10b+c$, а сумма цифр $S=a+b+c$.

а) Условие $\dfrac{100a+10b+c}{S}=11$ равносильно $100a+10b+c=11(a+b+c)$, то есть $89a=b+10c$. При $a=1$ нужно $b+10c=89$, что выполняется при $c=8,\ b=9$ (оба в пределах 0–9). Получаем число $198$: сумма цифр $18$, $198:18=11$. Ответ — да, такое возможно.

б) Условие $\dfrac{100a+10b+c}{S}=5$ даёт $100a+10b+c=5(a+b+c)$, то есть $95a+5b=4c$. Левая часть при $a\ge 1,\ b\ge 0$ не меньше $95$, а правая часть при $c\le 9$ не больше $36$. Равенство невозможно — ответ нет.

в) Если первая цифра $7$, число $700+10b+c$, сумма цифр $7+b+c$. Нужно найти наибольшее целое значение дроби $\dfrac{700+10b+c}{7+b+c}$. Если $b+c\ge 3$, то $\dfrac{700+10b+c}{7+b+c}\le\dfrac{799}{10}=79{,}9$, значит целое значение не превышает $79$. Остаётся проверить малые $b+c\le2$: перебор пар $(b,c)$ даёт целые значения $78,79,80$ (при $b=2,c=0$ дробь $=720/9=80$ — целое). Максимум среди всех случаев — $80$.