Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Запишем трёхзначное число через его цифры: $N=100a+10b+c$, где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$, а сумма цифр $S=a+b+c$.

а) Требуем $N=55S$: $100a+10b+c=55(a+b+c)$, откуда $45a=45b+54c$, а после деления на 9: $5a=5b+6c$. Взяв $c=0$, получаем $a=b$ — подходит, например, $a=b=1,c=0$, число 110: $110/(1+1+0)=55$. Значит, равенство возможно.

б) Требуем $N=87S$: $100a+10b+c=87(a+b+c)$, откуда $13a=77b+86c$. Так как $a\le9$, левая часть не больше $117$. Если $b+c\ge2$, то правая часть $\ge77(b+c)\ge154>117$ — противоречие. Значит $b+c\le1$: перебор трёх случаев ($b=1,c=0$; $b=0,c=1$; $b=c=0$) даёт нецелые или нулевые $a$, что невозможно для трёхзначного числа. Значит, частное 87 недостижимо.

в) Первая цифра $a=7$, число $N=700+10x+y$, сумма цифр $7+x+y$. Нужен минимум натурального значения $\dfrac{700+10x+y}{7+x+y}$. При $x=y=7$: $\dfrac{777}{21}=37$. Если $x+y\le12$, то $\dfrac{700+10x+y}{7+x+y}\ge\dfrac{700}{19}\approx36{,}8$, то есть меньше 37 получить нельзя. При $x+y\ge13$ прямой перебор чисел от 794 до 799 показывает, что ни одно не делится на соответствующую сумму цифр (20–25) без остатка, то есть целого частного меньше 37 не возникает. Следовательно, минимальное значение частного равно $37$.