Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть цифры числа — $a,b,c$, тогда $n=100a+10b+c$, а $m=\dfrac{n}{a+b+c}$ — натуральное число.

а) Проверим, может ли $m=11$: $100a+10b+c=11(a+b+c)$, откуда $89a=b+10c$. При $a=1$ получаем $b+10c=89$, значит $c=8,\ b=9$. Число $n=198$: сумма цифр $1+9+8=18$, и $198:18=11$ — целое. Значит, $m=11$ возможно.

б) Средняя цифра $b=9$, первая цифра $a$ — чётная и больше 2, то есть $a\in\{4,6,8\}$. Заметим: если $c$ нечётно, то $n$ нечётно, а сумма цифр $a+9+c$ (чётное+нечётное+нечётное) чётна — нечётное число не может делиться на чётное. Значит $c$ должно быть чётным.

Перебираем от меньшего $n$: при $a=4$ числа $490,492,494,496,498$ не делятся на соответствующие суммы цифр $13,15,17,19,21$ (проверка прямым делением). Переходим к $a=6$: при $c=0$ получаем $n=690$, сумма цифр $6+9+0=15$, и $690=15\cdot 46$ — делится нацело. Это наименьшее подходящее число.

в) Последняя цифра $c=4$, тогда $n=100a+10b+4$, сумма цифр $s=a+b+4$. Представим $m$ через целую часть: $$m=\dfrac{100a+10b+4}{a+b+4}=10+\dfrac{90a-36}{a+b+4}.$$ Чтобы $m$ было минимальным, нужно минимизировать дробь $\dfrac{90a-36}{a+b+4}$.

При $a=1$: числитель $=54$, знаменатель $=b+5\in[5;14]$. Делители 54 в этом диапазоне: 6 и 9. Наибольший знаменатель $9$ (при $b=4$) даёт минимальную дробь: $54/9=6$, значит $m=16$.

При $a\ge 2$ оценим снизу: $$\dfrac{90a-36}{a+b+4}\ge\dfrac{90a-36}{a+13}\ge\dfrac{90\cdot2-36}{2+13}=\dfrac{144}{22}>6,$$ поэтому при $a\ge2$ значение $m>16$.

Следовательно, минимальное $m=16$, достигается при $n=144$ ($144:9=16$).