Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Запишем трёхзначное число как $100a+10b+c$, где $a,b,c$ — его цифры сотен, десятков и единиц ($a\ne0$, число не кратно 100, значит $b+c>0$). Сумма цифр равна $a+b+c$. Если частное числа на сумму цифр равно $k$, то $100a+10b+c=k(a+b+c)$.

а) Подставим $k=90$: $100a+10b+c=90a+90b+90c$, откуда $10a=80b+89c$. Возьмём $c=0,\ b=1$ — получаем $10a=80$, значит $a=8$. Число $810$: сумма цифр $9$, $810:9=90$ — подходит.

б) Подставим $k=88$: $100a+10b+c=88a+88b+88c$, отсюда $12a=78b+87c$, то есть $4a=26b+29c$. Поскольку $a\le9$, правая часть не может превышать $36$, значит перебираем малые $b,c$: единственные варианты $b=0,c=1$ или $b=1,c=0$. В первом случае $4a=29$ — не целое, во втором $4a=26$ — тоже не целое. Целого $a$ нет, значит частное 88 невозможно.

в) Из общего уравнения выразим: $(100-k)a=(k-10)b+(k-1)c$. Так как $a\le9$, левая часть не превышает $9(100-k)$. С другой стороны, поскольку $b+c\ge1$, правая часть не меньше $(k-10)(b+c)\ge k-10$ (при $k>10$). Получаем неравенство $9(100-k)\ge k-10$, то есть $900-9k\ge k-10$, откуда $910\ge10k$, значит $k\le91$. Проверим, достижимо ли значение: число $910$ имеет сумму цифр $9+1+0=10$, и $910:10=91$ — совпадает. Значит наибольшее возможное значение частного равно $91$.