На доске написано n чисел ai (i = 1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на ri%. При этом либо ri = 2%, либо число ai уменьшается на 2, то есть становится равным ai − 2 (какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).а) Может ли среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn быть равным 5? б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn больше 2, при этом сумма чисел a1, a2 … an уменьшилась более чем на 2n? в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r1, r2, …, rn.

ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 19Числа и их свойства

Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 19Числа и их свойства

На доске написано n чисел a_i (i  =  1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на r_i%. При этом либо r_i  =  2%, либо число a_i уменьшается на 2, то есть становится равным a_i − 2 (какие-⁠то числа уменьшились на число 2, а какие-⁠то  — на 2 процента).

а)  Может ли среднее арифметическое чисел r₁, r₂, …, r_n быть равным 5?

б)  Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r₁, r₂, …, r_n больше 2, при этом сумма чисел a₁, a₂ … a_n уменьшилась более чем на 2n?

в)  Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r₁, r₂, …, r_n.

В подтеме 215 задач

Разбор

Главная идея: Связать процентное и абсолютное уменьшение через

r_i=\dfrac{200}{a_i}

, используя ограничение

a_i\ge50

, и оценить сумму уменьшений через число чисел, уменьшенных абсолютно.

а) Если число $a_i$ уменьшили на 2 (а не на проценты), то фактический процент уменьшения равен $r_i=\dfrac{2}{a_i}\cdot100=\dfrac{200}{a_i}\%$ . Так как по условию $a_i\ge50$ , получаем $r_i\le\dfrac{200}{50}=4$ . Для чисел, уменьшенных сразу на 2%, значение $r_i=2\le4$ . Значит, все $r_i\le4$ , поэтому и их среднее арифметическое не может превышать 4, а значит, равным 5 быть не может.

б) Нужен пример, где среднее $r_i$ больше 2, но сумма уменьшилась более чем на $2n$ . Возьмём $n=2$ : числа 50 и 150. Пусть 50 уменьшили на 2 (это как раз $4\%$ от 50, т.е. $r_1=4$ ), а 150 уменьшили на $2\%$ , то есть на 3 ( $r_2=2$ ). Среднее $\dfrac{4+2}{2}=3>2$ . Общая сумма уменьшилась на $2+3=5$ , а $2n=4$ , и $5>4$ — условие выполнено. Значит, такая ситуация возможна.

в) Пусть из 30 чисел $k$ уменьшили на 2 (абсолютно), а $30-k$ — на $2\%$ . Так как каждое число $\ge50$ , то $2\%$ от него $\ge1$ . Тогда суммарное уменьшение не меньше $2k+(30-k)=k+30$ . По условию сумма уменьшилась ровно на 40, значит $k+30\le40$ , то есть $k\le10$ .

Для чисел, уменьшенных на 2, $r_i=\dfrac{200}{a_i}\le4$ (так как $a_i\ge50$ ), а для остальных $r_i=2$ . Тогда среднее арифметическое всех $r_i$ оценивается сверху: $\frac{r_1+\dots+r_{30}}{30}\le\frac{4k+2(30-k)}{30}=\frac{2k+60}{30}.$ Подставляя максимальное $k=10$ , получаем $\frac{2\cdot10+60}{30}=\frac{80}{30}=\frac{8}{3}.$

Эта оценка достижима: пусть все 30 чисел равны 50, из них 10 уменьшили на 2 (то есть на $4\%$ ), а остальные 20 — на $2\%$ . Тогда сумма уменьшилась на $10\cdot2+20\cdot1=40$ — совпадает с условием, а среднее $r_i$ равно $\dfrac{10\cdot4+20\cdot2}{30}=\dfrac{80}{30}=\dfrac83$ .

Следовательно, наибольшее возможное значение среднего арифметического равно $\dfrac83$ .

Типичные ошибки

Не учитывать, что при уменьшении на 2 (абсолютно) процентная величина $r_i$ зависит от $a_i$ и ограничена сверху $4\%$ только при $a_i\ge50$ .
Ошибочно считать, что уменьшение на 2% всегда равно 2, забывая, что это доля от конкретного числа, которое может быть больше 50.
Не проверять достижимость оценки — забыть привести пример, подтверждающий, что максимум действительно достигается.

Непонятно?

Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Типичные ошибки

Похожие задачи