Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть $d=\gcd(x,y)$, тогда $x=ad,\ y=bd$, где $\gcd(a,b)=1$. Тогда $q=\mathrm{lcm}(x,y)=abd$, и значит $\dfrac{q}{d}=ab$ — это произведение взаимно простых частей.

а) Возьмём $x=17,\ y=10$: проверка $3\cdot17=51=8\cdot10-29$. Здесь $d=\gcd(17,10)=1$, $q=\mathrm{lcm}(17,10)=170$, значит $\dfrac{q}{d}=170$ — возможно.

б) Если $\dfrac{q}{d}=2$, то $\{a,b\}=\{1,2\}$, то есть одно число вдвое больше другого: $y=2x$ или $x=2y$. Подставляя в $3x=8y-29$, получаем $x=\dfrac{29}{13}$ или $y=\dfrac{29}{2}$ — не натуральные числа. Значит, значение 2 невозможно.

в) Если $x=y$, из уравнения $x=y=\dfrac{29}{5}$ — не натуральное, значит $ab=1$ невозможно. При $ab=2$ (см. пункт б) — тоже невозможно. При $ab=3$ аналогично получаем $x=\dfrac{29}{21}$ или $y=-29$ — не подходит. При $ab=4$: берём $x=1,\ y=4$, проверка $3\cdot1=3=8\cdot4-29$, верно. Тогда $d=1,\ q=4$, $\dfrac{q}{d}=4$. Так как меньшие значения (1,2,3) не реализуются, минимум равен 4.