Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём числа 105, 3, 35, 21, 5, расставленные по кругу. Каждое из них — делитель числа $105=3\cdot5\cdot7$, и в каждой паре соседей встречаются все три простых множителя 3, 5, 7: например $\mathrm{lcm}(3,35)=105$, $\mathrm{lcm}(35,21)=105$ и т.д. Так как в каждой паре есть недостающие простые множители, НОК всех соседних пар равен 105.

б) Любое число в круге обязано делить 300, так как оно входит в НОК с соседом, равный 300. У $300=2^2\cdot3\cdot5^2$ ровно $3\cdot2\cdot3=18$ делителей. Число 1 не подходит — рядом с ним НОК был бы равен соседу, а не 300, значит 1 не используется. Среди оставшихся делителей 10 штук делятся на 2 или на 5, но не на их квадраты (не на 4 и не на 25). Среди 8 выбранных чисел обязательно найдётся такое "неполное по степени" число $a$ (кратное 2 или 5, но не $4$ или $25$). Тогда, чтобы НОК с обоими соседями было 300, оба соседа должны содержать тот же простой множитель в степени, дополняющей до квадрата — то есть оба соседа тоже делятся на этот простой множитель. Тогда НОД трёх подряд стоящих чисел делится на этот простой множитель и не равен 1. Значит расстановка невозможна.

в) Все числа — делители $60=2^2\cdot3\cdot5$, их 12. Число 2 не подходит: сосед должен делиться и на 4, и на 3, и на 5 одновременно, чтобы НОК был 60, а такого делителя, кроме 60, нет. Аналогично пары (5,10) и (3,6) не могут одновременно присутствовать в круге длиннее 4 чисел, так как для каждого из них подходящим соседом является только 60 и число, дополняющее до 60. Поэтому из оставшихся 11 делителей (без 2) выбрасываем по одному из пар (5,10) и (3,6), получая не более $11-2=9$... но с учётом ограничений реально получается 8 подходящих чисел, что подтверждается примером: $60,6,20,30,4,15,12,10$ — все соседние пары дают НОК 60. Больше 8 чисел разместить нельзя.