ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 19Числа и их свойства

Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 19Числа и их свойства

а)  Можно ли в выражении \ln5*\ln6*\ln7*\ln8*\ln10*\ln12*\ln14 вместо всех знаков * расставить знаки + и − так, чтобы в результате получился нуль?

б)  Можно ли в выражении \ln6*\ln7*\ln8*\ln12*\ln14*\ln24*\ln32 вместо всех знаков * расставить знаки + и − так, чтобы в результате получился нуль?

в)  Какое наибольшее количество попарно различных чисел можно выбрать из набора \ln7,\ln8,\ldots,\ln20 и расставить знаки + и − так, чтобы их сумма стала равна нулю?

В подтеме 215 задач
Разбор
Главная идея: Сумма логарифмов по одному основанию равна логарифму произведения аргументов, поэтому задача сводится к разбиению чисел на две группы с равными произведениями.

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения аргументов: ln⁡a+ln⁡b=ln⁡(ab)\ln a+\ln b=\ln(ab). Поэтому если расставить перед одними логарифмами знак «+», а перед другими «−», результат будет нулём тогда и только тогда, когда произведения аргументов в этих двух группах равны — ведь тогда ln⁡(P1)−ln⁡(P2)=ln⁡(P1/P2)=0\ln(P_1)-\ln(P_2)=\ln(P_1/P_2)=0.

а) Ищем разбиение чисел 5,6,7,8,10,12,14 на две группы с равным произведением. Заметим: 5⋅6⋅7⋅8=10⋅12⋅14=16805\cdot6\cdot7\cdot8=10\cdot12\cdot14=1680. Значит, взяв +ln⁡5+ln⁡6+ln⁡7+ln⁡8−ln⁡10−ln⁡12−ln⁡14=0+\ln5+\ln6+\ln7+\ln8-\ln10-\ln12-\ln14=0, получаем нуль. Ответ: да.

б) Считаем, сколько раз множитель 2 входит в разложения чисел 6,7,8,12,14,24,32: 1+0+3+2+1+3+5=151+0+3+2+1+3+5=15 — нечётное число. При любом разбиении на две группы суммы степеней двойки в группах не могут быть равны (их сумма нечётна, значит одна часть чётная, другая нечётная). Значит равные произведения невозможны, и нуль получить нельзя. Ответ: нет.

в) Числа 11,13,17,19 содержат простые множители, не делящие остальные числа набора, поэтому их нужно исключить — иначе произведения не совпадут по этим простым. Остаются 7,8,9,10,12,14,15,16,18,20. Считаем степень 5: она входит нечётное число раз (3 раза — в 10,15,20), значит равное разбиение снова невозможно, надо убрать ещё одно число, кратное 5, например 20. Тогда для 7,8,9,10,12,14,15,16,18 находим равенство 7⋅8⋅9⋅10⋅12=14⋅15⋅16⋅187\cdot8\cdot9\cdot10\cdot12=14\cdot15\cdot16\cdot18, что даёт нужную нулевую сумму. Итого удалили 5 чисел, осталось 14−5=914-5=9. Ответ: 9.

Типичные ошибки

  • Забывают, что для получения нуля нужно именно равенство произведений, а не сумм чисел.
  • Не проверяют чётность/делимость степеней простых множителей при доказательстве невозможности разбиения.
  • В пункте в) не учитывают, что простые числа 11,13,17,19 обязательно нужно исключить из рассмотрения.
Непонятно?

Похожие задачи