Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общая идея. Число делится на $72=8\cdot 9$ тогда и только тогда, когда оно делится и на 8, и на 9. Делимость на 9 проверяется по сумме цифр (сумма должна делиться на 9), делимость на 8 обычно проверяют по последним трём цифрам (или подбором для небольших чисел). Порядок цифр при вычёркивании сохраняется — цифры остаются в исходном порядке.

а) Возьмём число 123456789 и вычеркнем цифры 2, 7, 9. Останется 134568. Сумма цифр $1+3+4+5+6+8=27$, делится на 9. Число чётное, и $134568:72=1869$ — целое. Значит, вычеркнуть можно, ответ — да.

б) Пусть из 846927531 вычеркнули цифры так, что получилось число, кратное 72, значит оно чётное. Единственная чётная цифра в числе — 2, поэтому все цифры после неё (7,5,3,1) обязаны быть вычеркнуты. Остаётся 84692. Проверим сумму его цифр: $8+4+6+9+2=29$, не делится на 9. Чтобы добиться делимости на 9, нужно вычеркнуть ещё цифры с суммой $2,11$ или $20$ (так как $29-2=27$, $29-11=18$, $29-20=9$ — кратны 9). Перебор вариантов вычёркивания даёт числа 8469, 846, 9 — ни одно не делится на 72. Значит, получить нужное число нельзя, ответ — нет.

в) У числа 124875963 все цифры различны и ненулевые. Если оставить 1 или 2 цифры (вычеркнуть 8 или 7), получится число меньше 100, среди таких на 72 делится только 72, но такую пару цифр в этом порядке получить нельзя. Если оставить 3 цифры (вычеркнуть 6), перебором трёхзначных чисел с разными ненулевыми цифрами, кратных 72 (216, 432, 576, 648, 792, 864, 936), видно, что ни одно не выделяется из исходной последовательности цифр в правильном порядке. Значит, вычеркнуть 6,7 или 8 цифр нельзя. Проверим вычёркивание 5 цифр: убираем 4,8,7,5,3, остаётся 1296. Сумма цифр $1+2+9+6=18$ делится на 9, число чётное и $1296:72=18$ — целое. Значит, максимум можно вычеркнуть 5 цифр.